حد كوشي للجذور: أين تبحث دون أن تعرف الحل؟

اقسم قبل اختيار الأكبر

الصيغة R=1+max|ak/an| تستخدم معاملات القوى الأقل من n، مع n≥1 وan≠0. [1]

في P(x)=4x³−8x²−20x+24، المعامل الرئيس4. نقسم الباقي عليه، فنجد−2 و−5 و6، ثم نأخذ مقاديرها2 و5 و6. الأكبر6؛ نضيف1 فنحصل على7.

الحد1+6=7 ليس أكبر معامل خام في كثير الحدود؛ أكبر مقدار خام24. التطبيع هو الذي يجعل الحساب متعلقًا بالجذور، لا بحجم الكتابة فقط.

لو ضربنا P كله في−3، تصبح المعاملات−12 و24 و60 و−72. النسب إلى−12 هي−2 و−5 و6 نفسها؛ الجذور والحد لا يتغيران. [1]

لا تستعمل أكبر معامل بإشارته دون القيمة المطلقة. في T(x)=x²−9، المعاملان الأقل درجة0 و−9؛ أكبرهما الخام0، لكن M=max(0,9)=9، وR=10. الجذران±3 يثبتان فشل الحد الزائف1.

داخل الفترة لا يعني جذرًا

حد الحصر يعطي فترة بحث للجذور الحقيقية، وقد يكون واسعًا. [2]

نحلل مثالنا: P(x)=4(x−1)(x−3)(x+2). ضرب العاملين الأولين يعطيx²−4x+3، ثم الضرب فيx+2 يعطيx³−2x²−5x+6؛ وبالضرب في4 نستعيد P.

الجذور−2 و1 و3 تحقق|x|≤7. أكبر مسافة فعلية هنا3، مع أن الحد المحسوب7؛ الفرق لا يعني خطأ في القاعدة، فهي حد احتواء وليست وصفًا دقيقًا لأبعد جذر.

عندx=7، نجد P(7)=4×6×4×9=864، وعندx=−7 نجد P(−7)=4×(−8)×(−10)×(−5)=−1600. طرفا الفترة ليسا جذرين. وعندx=0 نجد24، فهو داخل الفترة وليس جذرًا أيضًا.

الحصر يستبعد ما هو خارج الفترة، لكنه لا يعلن أن كل ما بداخلها حل. لفحص عدد معين نعوضه في كثير الحدود، أو نستعمل تحليلًا كاملًا كما فعلنا هنا.

لماذا لا يوجد جذر بعيد؟

بعد التطبيع، افترض جذرًاz بمقدارt=|z|>1، واكتب الحد الرئيس مساويًا لسالب الباقي. متباينة المثلث تعطي t^n≤M(1+t+…+t^(n−1)). [1]

مجموع القوى يساوي(t^n−1)/(t−1). لو t≥1+M وكان M>0، لكان M(1+t+…+t^(n−1))<Mt^n/(t−1)≤t^n؛ تناقض مع المتباينة السابقة. [1]

وإذاt≤1، فهو ضمن الحدR≥1 أصلًا. وإذاM=0، فكل المعاملات الأقل درجة صفر، وكثير الحدودan·z^n لا يتلاشى إلا عندz=0. هكذا تغطي المقارنة الحالات كلها. [1]

في مثالنا ذيM=6، افترض t≥7. حينئذ6(t²+t+1)=6(t³−1)/(t−1)≤t³−1<t³. يستحيل أن يكون مقدار الحد الرئيسt³ أصغر أو مساويًا لهذا المجموع.

النتيجة|z|≤R كافية للحصر. المقارنة تعطي هنا استبعاد الحد نفسه أيضًا، لكننا لا نستبدل سؤال إيجاد الجذور بسؤال اختيار طرف الفترة.

القرص والحلول الحقيقية

لـz=u+vi، المقدار|z|=√(u²+v²)، وهو المسافة من الأصل. شرط|z|≤R يصف قرصًا في المستوى العقدي، ويصبح[−R,R] عندماz حقيقي. [3]

في H(z)=z²+1، المعامل الرئيس1، والمعاملان الآخران0 و1؛ لذلك M=1 وR=2. الحلانi و−i يحققانz²=−1 ومقدارهما1؛ كلاهما داخل القرص.

لكنx²+1>0 لكلx حقيقي، فلا حل حقيقيًا لـH رغم وجود فترة الحصر[−2,2]. لا تخلط بين احتواء أي جذر وبين إثبات وجود جذر في مجموعة معينة.

وفي5x³، المعاملات الأقل درجة كلها0، فيكون M=0 وR=1. الجذر الوحيد من حيث القيمة0، مكرر ثلاث مرات؛ الحد1 ليس أكبر مقدار فعلي للجذور.

أما كثير الحدود الصفري فيتلاشى عند كل قيمة، ولا يملك معاملًا رئيسًا غير صفري؛ لا تطبق عليه الصيغة. والثابت غير الصفري درجته0، خارج شرطn≥1 هنا.

ابدأ بتحديد الدرجة بعد التبسيط، ثم النسب المطلقة، ثم أضف1. اقرأ النتيجة بوصفها حصرًا، واحتفظ بخطوة مستقلة لاستخراج الجذور أو فحصها.