كيفية حساب الطاقة الداخلية في الفيزياء: الغاز ودرجات الحرية

الخلاصة السريعة

لغاز مثالي أحادي الذرة: U = 1.5nRT؛ ولتغير حرارته عند ثبات المولات: ΔU = 1.5nRΔT. ^[1]

• عند ثبات عدد المولات، تغير الطاقة في هذا النموذج ΔU = 3nRΔT/2؛ درجة الحرارة المطلقة بالكلفن. ^[1][2]
• في مثال 0.4 مول و R = 8.314، التسخين من 300 إلى 380 كلفن يعطي U₁ = 1496.52 جول و U₂ = 1895.592 جول؛ ΔU = 399.072 جول.^[3]
• لغاز مثالي بسعة مولية ثابتة تقريبًا ΔU = nCᵥΔT؛ إذا تغيرت Cᵥ مع الحرارة نستخدم ΔU = n∫Cᵥ(T)dT. ^[2]
• للجزيء ثنائي الذرة، ثلاث حريات انتقالية وحريتان دورانيتان فعالتان تعطيان Cᵥ ≈ 5R/2؛ يلزم أن تكون الإثارات الاهتزازية غير فعالة في النطاق المدروس. ^[2]
• لنموذج الخمس حريات نفسه مع 0.4 مول وارتفاع 80 كلفن: ΔU = 665.12 جول؛ نقارن تغير الطاقة في النطاق، لا نمدد السعة إلى صفر كلفن.
• في الغاز المثالي ثابت عدد المولات، ثبات الحرارة يعطي ΔU = 0 ولو تغير الحجم؛ لا يعني ذلك أن مقدار الحرارة المنتقلة صفر. ^[1][2]

اختيار الصيغة قبل التعويض

عند ثبات عدد المولات، تغير الطاقة في هذا النموذج ΔU = 3nRΔT/2؛ درجة الحرارة المطلقة بالكلفن. ^[1][2]

قبل إدخال الأرقام نكتب عدد المولات، وهل الغاز أحادي الذرة، ودرجة البداية والنهاية بالكلفن. هذه قائمة تمنع استعمال معادلة تناسب نموذجًا مختلفًا عن المسألة.

في مثالنا درجتا الحرارة 300 و 380 كلفن، والفرق 80 كلفن. لو اخترنا 270 و 350 كلفن لبقي الفرق 80، لكن قيمتا الطاقة الكلية المحسوبتان ستتغيران؛ لا نخلط سؤال القيمة بسؤال الفرق.

حساب الطاقة وتغيرها في مثال واحد

نختار n = 0.4 مول و R = 8.314 جول/(مول·كلفن)، ودرجتين 300 و 380 كلفن. عند البداية U₁ = 1.5 × 0.4 × 8.314 × 300 = 1496.52 J.^[3]

عند النهاية U₂ = 1.5 × 0.4 × 8.314 × 380 = 1895.592 J، والفرق 1895.592 − 1496.52 = 399.072 J.

يمكن اختصار العمل باستخدام فرق الحرارة 80 كلفن: ΔU = 1.5 × 0.4 × 8.314 × 80 = 399.072 J. اتفاق الطريقين يفحص التعويض دون إضافة معطى جديد.

لو جعلنا عدد المولات 0.8 مع درجتي الحرارة نفسيهما، صار التغير 798.144 جول. وفي المثال الأصلي خفض الحرارة من 380 إلى 300 كلفن يعطي −399.072 جول، لأن ترتيب النهاية والبداية انعكس.

درجات الحرية تحدد السعة المستخدمة

لغاز مثالي بسعة مولية ثابتة تقريبًا ΔU = nCᵥΔT؛ إذا تغيرت Cᵥ مع الحرارة نستخدم ΔU = n∫Cᵥ(T)dT. ^[2]

للجزيء ثنائي الذرة، ثلاث حريات انتقالية وحريتان دورانيتان فعالتان تعطيان Cᵥ ≈ 5R/2؛ يلزم أن تكون الإثارات الاهتزازية غير فعالة في النطاق المدروس. ^[2]

للمقارنة نستخدم 0.4 مول وارتفاع 80 كلفن نفسه: ΔU = 0.4 × (2.5 × 8.314) × 80 = 665.12 J.

نسبة الزيادتين 665.12/399.072 = 5/3. الفرق لم ينتج من تغيير عدد المولات أو فرق الحرارة؛ تغيرت السعة التي افترضناها في النموذج.

نحسب تغيرًا ضمن نطاق الحريات الفعالة، ولا نمدد سعة ثابتة إلى صفر كلفن. ^[2]

الطاقة الداخلية ليست اسمًا آخر للحرارة

في الغاز المثالي ثابت عدد المولات، ثبات الحرارة يعطي ΔU = 0 ولو تغير الحجم؛ لا يعني ذلك أن مقدار الحرارة المنتقلة صفر. ^[1][2]

في تجربة حسابية نثبت الغاز عند 300 كلفن ونضاعف حجمه من وعاء إلى آخر: تبقى قيمة U في نموذجنا 1496.52 جول. هذا يجيب سؤال التغير الداخلي فقط؛ لا يحدد مسار العملية أو مقدار الشغل.

وحدة الطاقة الجول، ووحدة درجة الحرارة الكلفن؛ عبارة «ارتفعت الحرارة 45 جول» لا تحدد تغير درجة حرارة يمكن وضعه مكان ΔT. نحتاج فصل الكمية المقصودة ووحدتها أولًا.