حل المتباينات المركبة: متى نأخذ التقاطع ومتى الاتحاد؟

التقاطع والاتحاد

مع «و» نأخذ تقاطع الحلين، أي القيم المشتركة. ومع «أو» نأخذ اتحادهما، أي كل قيمة تحقق أحدهما أو كليهما. حل أحد الشرطين وحده لا يكفي للحكم على عبارة «و». ^[1]

مثلًا الشرطان x≥−2 و x<4 متحققان معًا عند 0. وعند 6 يتحقق الأول فقط؛ لذا 6 حل لعبارة «أو»، لكنه ليس حلًا لعبارة «و» لهذين الشرطين.

مثال على التقاطع: فترة محدودة

نختار 3x−2≥−8 و 2x+1<9. من الأولى 3x≥−6، أي x≥−2. ومن الثانية 2x<8، أي x<4. إذن الحل −2≤x<4، أو بالفترات [−2,4).

العدد −2 داخل الحل: يعطي في الأولى −8≥−8، وفي الثانية −3<9. أما 4 فيجعل الثانية 9<9 وهي خاطئة؛ لذلك نستبعده. القيمة 0 تجعل −2≥−8 و 1<9 صحيحتين.

في تدوين الفترة، القوس المربع يضم النهاية، والقوس المستدير يستبعدها. وعلى رسمنا تعني النقطة الممتلئة قيمة مشمولة، والمفرغة قيمة مستبعدة. ^[2]

مثال على الاتحاد: جزآن منفصلان

نختار 5−2x≥11 أو 3x+2>17. الأولى تعطي −2x≥6 ثم x≤−3. والثانية تعطي 3x>15 ثم x>5. الحل (−∞,−3]∪(5,∞).

عند قسمة المتباينة أو ضربها بعدد سالب نعكس الإشارة؛ لهذا تحولت ≥ إلى ≤ بعد القسمة على −2. الجمع أو الطرح بالكمية نفسها من الطرفين لا يعكسها. ^[2]

لا نملأ المسافة بين −3 و 5 في هذا المثال. القيمة 0 تعطي 5≥11 و 2>17، وكلاهما خاطئ. وعند 6 تكون الأولى خاطئة، لكن الثانية 20>17 صحيحة، وهذا يكفي لعبارة «أو». العدد −3 مقبول، والعدد 5 مرفوض.

متى لا يوجد حل؟ ومتى تكون جميع القيم حلولًا؟

الشرطان x<−1 و x≥2 ليس لهما عدد مشترك: النتيجة المجموعة الخالية ∅. وجود حل لكل شرط منفردًا لا يمنح تقاطعًا غير خالٍ.

أما x≥−2 أو x<4 فحله جميع الأعداد الحقيقية. كل عدد دون −2 يحقق الشرط الثاني، وكل عدد من −2 فصاعدًا يحقق الأول. والعدد الذي يحقق الشرطين يظهر مرة واحدة في مجموعة الحل.

هذه الحالتان ممكنتان في المتباينات المركبة؛ تحديدهما يعتمد على تقاطع المناطق أو اتحادها. ^[1]

حل صيغة مزدوجة والتحقق

الصيغة a≤x<b تعني شرطين مع «و». عند حل سلسلة مزدوجة ننفذ العملية نفسها على أجزائها الثلاثة. ^[1]

في مثالنا −7≤2x+3<11، نطرح 3 فنحصل على −10≤2x<8، ثم نقسم على 2 فنحصل على −5≤x<4. الصيغة [−5,4) تحتفظ باختلاف النهايتين.

قبل اعتماد النتيجة، اختبر قيمة داخل كل جزء وقيمة مستبعدة والنهايات المحتملة في الشروط الأصلية. اقرأ أداة الربط مرة أخرى؛ استعمال «أو» بدل «و» قد يغير النتيجة كلها.