حل المعادلات المثلثية: الفترة المحددة والحل العام

حدد الوحدة والفترة قبل الحل

الجيب وجيب التمام معرفان لكل عدد حقيقي، ومدى كل منهما [−1,1]، ودورتهما 2π. تتكرر القيم بإضافة دورة كاملة. ^[2]

في الفترة 0 ≤ x < 2π يدخل الصفر ويخرج 2π. وعند كتابة الحل العام للجيب أو جيب التمام نضيف 2πk إلى حلول الدورة، حيث k عدد صحيح. ^[1][2]

اعزل النسبة أو حلل المقدار، ثم حدد الزوايا وافحص الفترة والتعويض في الأصل. وإذا استعملت الدرجات، فاكتب الدورة بوحدتها دون خلطها بالراديان. ^[1]

مثال: جيب سالب وحلان في دورة

نختار 2 sinx + √2 = 0 في [0,2π). إذن sinx = −√2/2. زاوية المرجع π/4، والجيب سالب في الربعين الثالث والرابع، فتكون الزاويتان 5π/4 و 7π/4.

بالتعويض في كل منهما نحصل على 2(−√2/2)+√2=0. والحل العام للمثال: x = 5π/4 + 2πk أو x = 7π/4 + 2πk، مع k∈ℤ. لا تختزل العائلة الثانية في الأولى.

إذا ظهرت في خطوة معادلة مثل sinx = 1.4، فلا يوجد حل حقيقي لأن القيمة تتجاوز مدى الجيب. هذه مراجعة للقيمة المطلوبة، قبل البحث عن زاوية في الحاسبة. ^[2]

التحليل قد ينتج أكثر من فرع

نختار 3cos²x + cosx − 2 = 0. التحليل هو (3cosx−2)(cosx+1)=0. إذن cosx=2/3 أو cosx=−1.

لنسم α=arccos(2/3)≈0.841069 راديان. في [0,2π) تكون الحلول α و π و 2π−α≈5.442117. وعند cosx=2/3 يعطي المقدار 3×4/9+2/3−2=0، وعند cosx=−1 يعطي 3−1−2=0.

كل عامل مساوٍ للصفر فرع يحتاج فحصًا، ولا نقسم المعادلة على عامل قد يساوي صفرًا فنفقد حلوله. والتحقق يكون في المعادلة الأصلية مع مجالها. ^[1]

الزاوية المضاعفة: لا تكتف بحلين

نختار cos(2x) = −√3/2 في 0 ≤ x < 2π. ضع u=2x، فالفترة تصبح 0 ≤ u < 4π. نحتاج دورتين من جيب التمام، لا دورة واحدة.

الأربعة تحقق الفترة الأصلية؛ فمثلًا x=17π/12 يعطي 2x=17π/6، وهي 5π/6 بعد إزالة دورة كاملة. والحل العام هو x=5π/12+πk أو x=7π/12+πk.

عند تبديل الزاوية إلى متغير جديد، تتبدل فترة البحث معه؛ وعدد الحلول يعود إلى مرات تكرار الدالة داخل تلك الفترة. ^[1]

فحص قصير للنتيجة

اسأل عن ثلاث تفاصيل: هل استعملت وحدة واحدة؟ هل أخذت كل فروع التحليل؟ وهل استبعدت طرف الفترة المفتوح فقط؟ ثم عوض الزوايا في الأصل، واستعمل التقريب للعرض بعد الاحتفاظ بالقيمة الدقيقة.

الزوايا 5π/4 و 7π/4 في المثال الأول تساوي 225° و 315°. هذا تحويل للوحدة نفسها، لا إضافة حلين جديدين.