كيفية حل معادلة من الدرجة الثالثة: جذر نسبي وقسمة وتحقق

الخلاصة السريعة

اختبر المرشح، ثم اقسم على العامل، وأكمل الحل مع التعويض.

• عند معاملات صحيحة، يكون الجذر النسبي في صورة p/q: p يقسم الحد الثابت و q يقسم المعامل الرئيس. المرشحات ليست حلولًا مؤكدة. ^[1]
• في المثال 2x³ − 7x² − 17x + 10 = 0، يحقق x = ½ المعادلة؛ القسمة على x − ½ تعطي 2x² − 6x − 20.
• بعد التحليل تصبح الجذور −2 و½ و 5؛ التعويض في الأصل يعطي صفرًا لكل منها.
• فشل جميع المرشحات النسبية ينفي الجذر النسبي فقط. في x³ − 2 = 0، يبقى الحل الحقيقي ∛2 رغم فشل المرشحات ±1 و ±2.

نختار مرشحًا من قاعدة محددة

نكتب التكعيبية ax³ + bx² + cx + d = 0 مع a ≠ 0. إذا كانت المعاملات صحيحة، تحصر نظرية الجذر النسبي المرشحات في عوامل d مقسومة على عوامل a، بعد الاختزال. ^[1]

نختار مثالًا مستقلًا f(x) = 2x³ − 7x² − 17x + 10. من المرشحات النصف، إذ يقسم 1 العدد 10 ويقسم 2 المعامل 2.

نختبره: 2(½)³ − 7(½)² − 17(½) + 10 = ¼ − 7/4 − 17/2 + 10 = 0. بناءً على الاختبار، يكون x − ½ عاملًا. ^[1]

لا تكتف بعوامل العدد 10 الصحيحة وحدها؛ المعامل الرئيس هنا 2 يتيح مرشحات كسرية أيضًا.

القسمة ثم حل التربيعي

في القسمة التركيبية على x − r نستخدم r وصف المعاملات، ثم ننزل الأول ونكرر الضرب والجمع؛ آخر عدد هو الباقي. ^[2]

لـ r = ½ نبدأ بالصف 2, −7, −17, 10. نتائج الضرب المتتابعة 1, −3, −10؛ الصف النهائي 2, −6, −20, 0.

إذن f(x) = (x − ½)(2x² − 6x − 20). نحلل الباقي إلى 2(x² − 3x − 10) = 2(x + 2)(x − 5)، فتكون القيم −2 و½ و 5.

نختبر الأصل: f(−2) = −16 − 28 + 34 + 10 = 0، و f(5) = 250 − 175 − 85 + 10 = 0. الرسم الحسابي يوضح مواقعها، لكن التعويض هو فحص هذه القيم.

إذا لم نجد جذرًا نسبيًا

نظرية الجذر النسبي تحصر الجذور النسبية فقط، ولا تضمن وجودها. ^[1] لذلك لا تكتب «لا حلول» لمجرد فشل قائمة الأعداد المرشحة.

خذ مثالًا آخر مستقلًا g(x) = x³ − 2. المرشحات ±1 و ±2 تعطي على الترتيب: g(1) = −1، و g(−1) = −3، و g(2) = 6، و g(−2) = −10. لا يوجد صفر بينها.

مع ذلك، بالتعريف x = ∛2 يحقق x³ = 2. يثبت هذا المثال حد الطريقة: لم نجد جذرًا نسبيًا، لكن بقي جذر حقيقي غير نسبي.

قبل الانتقال إلى وسيلة أخرى، راجع المعاملات ونطاق المطلوب. هل نريد قيمة دقيقة أم تقريبًا؟ الاختبار النسبي خطوة مفيدة عندما يناسب المعادلة، وليس وصفة شاملة لكل حالة.

للمتابعة في موضوع قريب، اقرأ: طرق حل المعادلات: اختيار الخطوات والتحقق من المجال.