خواص الشكل الرباعي غير المنتظم وكيف نحسب مساحته

الخلاصة السريعة

الرباعي غير المنتظم شكل له أربعة أضلاع، ولا يجمع بين تساوي جميع الأضلاع وتساوي جميع الزوايا؛ فقد تتساوى أضلاعه أو زواياه وحدها.^[1]

• المربع هو الرباعي المنتظم؛ أما المستطيل غير المربع فغير منتظم رغم تساوي زواياه، والمعين غير المربع غير منتظم رغم تساوي أضلاعه.^[1][2]
• للرباعي البسيط قطران، ومجموع زواياه الداخلية 360°.^[2]
• يمكن حساب مساحة رباعي محدب بتقسيمه بقطر إلى مثلثين وجمع مساحتيهما؛ ولا يلزم تساوي المساحتين.^[3]
• إذا كان طول القطر d والارتفاعان العموديان عليه h₁ و h₂، فالمساحة d(h₁+h₂)/2.^[3][4]
• في المثال الأصلي أدناه، قطر طوله 10 م وارتفاعان 3 م و 5 م يعطيان مساحة 40 م².

متى يكون الرباعي غير منتظم؟

الانتظام شرط يجمع تساوي أطوال الأضلاع وتساوي قياسات الزوايا. يكفي غياب أحد الشرطين لنسمي الشكل غير منتظم؛ فلا يشترط أن تختلف الأضلاع الأربعة كلها.^[1]

لنقارن ثلاثة أشكال: مربع، ومستطيل طوله 8 سم وعرضه 4 سم، ومعين غير مربع. المستطيل يحقق شرط الزوايا وحده، والمعين يحقق شرط الأضلاع وحده، بينما يحقق المربع الشرطين معًا.^[1][2]

لا تعني كلمة «غير منتظم» أن الرسم خاطئ أو أن أضلاعه منحنية؛ فنحن نتحدث عن مضلع رباعي له أربعة أضلاع مستقيمة. ويعرض الرسم الرئيسي المقارنة دون الاعتماد على شكل يبدو مختلفًا بالعين وحدها.^[1]

ما خواصه التي تبقى ثابتة؟

عدد الرؤوس أربعة، والقطر يصل بين رأسين غير متجاورين. لذلك للرباعي قطران، ومجموع زواياه الداخلية 360°، حتى إن لم تتساوَ زواياه.^[2]

نقصر مثال المساحة على رباعي محدب: يظل القطر المختار داخل الشكل، ويقسمه إلى مثلثين لا يتداخل داخلهما. جمع المساحتين يعيد مساحة الرباعي كله.^[3]

عدم الانتظام لا يمنح القطر خاصية تنصيف المساحة. سنرى في المثال أن المثلث الأول مساحته 15 م²، والثاني 25 م²، مع أنهما يشتركان في القطر نفسه.

مثال: مساحة الرباعي من القطر والارتفاعين

مساحة المثلث نصف حاصل ضرب القاعدة في ارتفاعها العمودي. عند اتخاذ القطر قاعدة مشتركة، نحسب لكل مثلث ارتفاعه الخاص، ثم نجمع: S = d×h₁/2 + d×h₂/2 = d(h₁+h₂)/2.^[3][4]

نرسم رباعيًا رؤوسه أ=(0، 0)، ب=(3، 3)، ج=(10، 0)، د=(7، −5)، بوحدات المتر. القطر أج أفقي وطوله 10 م؛ والبعد العمودي لب عنه 3 م، ولد عنه 5 م.

إذن مساحة أبج تساوي 10×3÷2 = 15 م²، ومساحة أجد تساوي 10×5÷2 = 25 م². المساحة الكلية 15+25 = 40 م². الارتفاعان هنا عمودان على القطر، ولا نستبدلهما بطولي الضلعين المائلين.

هذا المثال يحتاج القطر والارتفاعين. أما أربعة أطوال للأضلاع وحدها فلا تفرض مساحة واحدة: لمعين ضلعه 6 م، ارتفاع 3 م يعطي مساحة 18 م²، وارتفاع 6 م يعطي 36 م². يمكن تقسيمه بقطر إلى مثلثين للتحقق من المساحتين.

للقراءة المتصلة بهذا الموضوع: خصائص المربع: لماذا لا يكفي تساوي الأضلاع وحده؟