أقم عمودًا عند طرف الضلع، ثم انقل طوله لإكمال المربع. [1][2]
ابدأ بضلع وأنشئ العمود عند طرفه
المربع له أربعة أضلاع متساوية وأربع زوايا قائمة. [3]
نختار ضلعًا 8 سم ونضع أ=(0،0)، وب=(8،0) سم. الضلع موجب، والنقطتان مختلفتان. سنرسم بقية المربع فوق الخط الأفقي، ونسمي الرؤوس أ ثم ب ثم ج ثم د حول حدوده. هذه تسمية للمثال وليست أمرًا بتحديد اتجاه أفقي ثابت لكل مربع.
مد الخط بعد ب، وضع علامتين على جانبيها، ثم من العلامتين بقوسين متساويين حدد هـ. ارسم ب هـ؛ هذا عمود على أ ب. [1]
في المثال نختار العلامتين ع=(6،0) وق=(10،0)، كل منهما على بعد 2 سم من ب. بقوسين نصف قطرهما 3 سم يصبح التقاطع العلوي هـ=(8،√5)، لأن مربع البعد الرأسي 3²−2²=5. خط ب هـ رأسي في هذا النموذج، لكنه لا ينتهي تلقائيًا عند طول ضلع المربع.
انقل طول الضلع لتحديد ج ود
بفتحة أ ب حدد ج على العمود من ب. قوسان من أ وج بالفتحة نفسها يحددان د؛ صلها بأ وج. [1]
في مثالنا فتحة نقل الأضلاع 8 سم. من ب=(8،0) على العمود العلوي نحصل على ج=(8،8). هـ كانت عند √5≈2.236 سم فوق ب؛ فهي علامة اتجاه فقط. إذا وصلت أ بهـ بوصفها ج فقد نقلت نقطة البناء إلى اسم رأس قبل تحقيق طول 8 سم.
نرسم من أ دائرة نصف قطرها 8 سم، ومن ج دائرة بالفتحة نفسها. لأن أ ب=ج ب=8 سم، تقع ب على الدائرتين بالفعل. إذن مجرد العثور على تقاطع بين القوسين لا يثبت أنه رأس جديد؛ نسمي د=(0،8)، وهي التقاطع الآخر في مثالنا.
يظهر د إلى يسار ج وأعلى أ. وصل ج بد يعطي ضلعًا أفقيًا 8 سم، ووصل د بأ يعطي ضلعًا رأسيًا 8 سم. نحتفظ بعلامة ب ظاهرة حتى نميز الرأس الموجود من النقطة الجديدة، ونراجع ترتيب أ ب ج د قبل إغلاق الحدود.
احسب التقاطعين بدل التخمين من الصورة
لنكتب إحداثيي نقطة التقاطع (س،ص). دائرة أ تحقق س²+ص²=64، ودائرة ج تحقق (س−8)²+(ص−8)²=64. طرح المعادلة الأولى من الثانية يعطي −16س−16ص+128=0، ومنه س+ص=8.
نعوض ص=8−س في المعادلة الأولى: س²+(8−س)²=64. بفك الأقواس نجد 2س²−16س=0، أي س(س−8)=0. إذا س=0 كانت ص=8، فنحصل على د. وإذا س=8 كانت ص=0، فنحصل على ب. ليس وجود ب مصادفة أو عيبًا في الفرجار؛ الأطوال السابقة جعلتها على الدائرتين.
في الرؤوس أ=(0،0)، ب=(8،0)، ج=(8،8)، د=(0،8)، يكون مربع كل ضلع 64. المتجهان أ ب=(8،0) وأ د=(0،8) متعامدان لأن حاصل ضربهما الداخلي صفر؛ وبقية الأضلاع أفقية أو رأسية أيضًا. لذلك نجد أربع زوايا قائمة في النموذج.
مربع القطر أ ج=8²+8²=128، وكذلك مربع ب د=(−8)²+8²=128؛ كل منهما 8√2 سم. منتصف كل قطر (4،4) سم. هذه مراجعة مستقلة للرسم الصحيح، مع الاحتفاظ بالجذر في الحساب؛ التقريب 8√2≈11.314 سم يصلح للقراءة ولا يحل محل القيمة الدقيقة.
التقاطع الموجود لا يعطي رأسًا رابعًا
لو سمينا التقاطع ب باسم د′، أصبح د′=(8،0). تحقق أ د′=8 سم وج د′=8 سم، لكن د′ وب نقطة واحدة. الحد المسمى أ ب ج د′ يعود من ج إلى ب على الضلع نفسه، ثم من ب إلى أ؛ فلا يصنع أربعة رؤوس متميزة ولا مساحة مربع.
هذا مثال على أن فحص طولَي القطعتين الجديدتين وحده أضعف من فحص الرؤوس والترتيب. في الحالة الصحيحة نكتب د=(0،8)، ونتأكد أنها تختلف عن أ وب وج. ثم تتبع أ→ب→ج→د→أ حول الحدود، بدل الرجوع من ج إلى ب مرة ثانية.
لضلع عام ل>0، نضع أ=(0،0)، ب=(ل،0)، ج=(ل،ل). دائرتا أ وج بنصف قطر ل تعطيان س+ص=ل، ثم س(س−ل)=0. الحل الجديد د=(0،ل)، والحل الموجود ب=(ل،0). إذا ل=0 اندمجت الرؤوس جميعًا، فلا نستعمل طولًا صفريًا في الإنشاء.
سجل المثال: الفتحة المساعدة الأولى 3 سم من ع وق؛ فتحة نقل الأضلاع 8 سم من أ وب وج؛ هـ علامة عند √5 فوق ب؛ د=(0،8) رأس جديد. لكل رقم مهمة ومركز مختلفان. يمكنك إضافة خانة للقياس على الورق بجانب أطوال الأضلاع والقطرين؛ الصور على الشاشة ليست قياسًا بالمسطرة على الورقة.
| التقاطع المختار في المثال | أ إلى التقاطع؛ ج إلى التقاطع | نتيجة إغلاق الحدود |
|---|---|---|
| د=(0،8) | 8 سم؛ 8 سم | مربع بأربعة رؤوس مختلفة |
| ب=(8،0) باسم د′ | 8 سم؛ 8 سم | إعادة رأس موجود؛ انعدام المساحة |
للتوسع: الفرجار الهندسي واستخداماته.
المراجع
أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.