رسم مماسين من نقطة خارج الدائرة: فتحة القوس نصف مسافة المركز

المنتصف يحدد مركز القوس وفتحته

صل المركز و بالنقطة الخارجية ن وحدد منتصف القطعة م. [1]

من الطرفين بأقواس متساوية الفتحة أكبر من نصف القطعة، صل تقاطعي الأقواس؛ تقاطع هذا العمود المنصف مع القطعة هو منتصفها. [3]

عند م افتح الفرجار إلى و وارسم قوسًا يقطع الدائرة عند أ وب؛ صل ن أ ون ب. [1]

في مثالنا سنكتب على الورقة قيمتين: نصف قطر الدائرة الأصلية 4، وفتحة القوس المساعد 4. تساويهما هنا مصادفة في اختيار الأرقام؛ فتحة القوس المساعد جاءت من م و، لا من قراءة نصف قطر الدائرة الأصلية. احتفظ باسم كل مسافة حتى لا تستبدلها بأخرى في تمرين مختلف.

تساوي المسافات يصنع الزاوية القائمة

م و=م ن=م أ؛ المثلثان و م أ وأ م ن متساويا الساقين، واستقامة و م ن تعطي الزاوية و أ ن قائمة. [2]

لذلك ن أ مماس عمودي على نصف القطر و أ؛ ونكرر الحجة عند ب للمماس الآخر. [2]

سم نقطتي التماس قبل تغميق الوصلتين. لا تجعل م نقطة تماس: في مثالنا م على خط المركز والنقطة الخارجية، بينما أ وب أعلى هذا الخط وأسفله. سنضيف نصفي القطر و أ وو ب إلى الرسم للتحقق من الزاويتين عند نقطتي التماس.

مثال محسوب لدائرتين متقاطعتين

نؤلف دائرة س²+ص²=16، مركزها و=(0،0)، ونقطة ن=(8،0). م=(4،0)، وفتحة م و=4. الدائرة المساعدة معادلتها (س−4)²+ص²=16. بطرح معادلة الأصلية منها: −8س+16=0؛ إذن س=2.

بالتعويض ص²=16−4=12، فتكون أ=(2،2√3)، وب=(2،−2√3). إلى أ من و المتجه (2،2√3)، ومن أ إلى ن المتجه (6،−2√3). حاصل الضرب الداخلي 2×6+(2√3)(−2√3)=12−12=0، فيؤكد التعامد.

مربع طول أ ن هو 6²+(2√3)²=48؛ طولها √48=4√3≈6.928. الحساب نفسه عند ب يعطي الطول ذاته. أما م أ²=(2−4)²+(2√3)²=16، فيتفق مع فتحة القوس 4.

يمكن فحص الخط العلوي مباشرة: س+√3ص=8. تحقق أ لأن 2+6=8، وتحقق ن لأن 8+0=8. التعويض ص=(8−س)/√3 في الدائرة يعطي 4(س−2)²=0 بعد التبسيط؛ نقطة التقاطع الوحيدة هي أ. الحساب يراجع الرسم ولا يستخرج قياسًا من الشاشة.

فتحة 5 تحول الوصلة إلى قاطع

أبق المركز المساعد م=(4،0)، وغير فتحته إلى 5. تصبح معادلته (س−4)²+ص²=25. بطرح س²+ص²=16 نحصل على −8س+16=9، أي س=7/8. نقطة التقاطع العليا الجديدة ت=(7/8،5√39/8).

هي على الدائرة الأصلية، لكن ذلك وحده لا يكفي للتماس. المتجه و ت مضروبًا داخليًا في ت ن يعطي 8س−(س²+ص²)=7−16=−9، وليس صفرًا؛ الزاوية ليست قائمة.

لإثبات أن الوصلة قاطع، نكتب نقاط خطها بصيغة (8−57ع/8،5√39ع/8)، حيث ع معامل لتحديد الموضع. عند ع=0 نكون عند ن، وعند ع=1 عند ت. بالتعويض في دائرة الأصل نحصل على 66ع²−114ع+48=0، أي 6(ع−1)(11ع−8)=0.

الحل الثاني ع=8/11 يعطي نقطة أخرى ك=(31/11،5√39/11)، تختلف عن ت. مربعا إحداثيي ك مجموعهما (961+975)/121=16. إذن الخط يقطع الدائرة في ت وك. إذا وجدت هذا الخلل في مثالنا، أعد فتحة م و=4؛ نقل المركز الصحيح وحده لا يصلح الفتحة الخاطئة.