زاوية المماس والوتر: اتجاه الشعاع يحدد63 أم117 درجة

سم شعاع المماس والوتر في نقطة واحدة

المماس والوتر الخارج من نقطة التماس يصنعان زاويتين؛ توافق كل منهما زاوية في القطعة الدائرية المقابلة. [1]

اختر أ ت أو أ س. تسمية المستقيم وحده لا تعين الزاوية المطلوبة.

نختار دائرة مركزها و=(0،0) ونصف قطرها5 وحدات. أ=(5،0) وب=(−3،4) على الدائرة لأن25+0=25 و9+16=25. المماس عند أ هو س=5؛ التعويض في الدائرة يعطي ص²=0، فيلتقيها عند أ وحدها.

نضع ت=(5،6) وس=(5،−6). متجه الوتر أ ب=(−8،4)، واتجاها شعاعي المماس(0،1) و(0،−1). الزاوية غير المنعكسة مع الشعاع الأول حادة، ومع الثاني منفرجة.

الرأس المحيطي مختلف عن أ وب، والزاوية غير منعكسة. تكرار طرف الوتر لا يصنع مثلثًا.

الجهة المقابلة تختار الرأس المحيطي الصحيح

رأس الزاوية المحيطية المقارنة يقع في القطعة الدائرية المقابلة للزاوية بين المماس والوتر المختارة. [1]

خط الوتر في مثالنا س+2ص=5. القيمة س+2ص−5 تساوي صفرًا عند أ وب؛ إشارتها تفصل جهتي الخط. عند ت تساوي12، وعند س تساوي−12.

نختار ج=(−5،0)؛ مربع بعدها عن المركز25، والقيمة عندها−10. إذن ج على المحيط في الجهة المقابلة لت. ونختار د=(3،4)؛ مربع بعدها25، والقيمة عندها6، فتقع في جهة ت والمقابلة لس.

عند أ، نقارن الوتر(−8،4) مع(0،1): الضرب الداخلي4، ومقدار المتجهي8. الزاوية=atan2(8،4)≈63.435°. مع(0،−1) يصبح الداخلي−4 ويبقى المقدار8؛ الزاوية≈116.565°.

عند ج، ج أ=(10،0)، وج ب=(2،4). الداخلي20 ومقدار المتجهي40؛ الزاوية أ ج ب=atan2(40،20)≈63.435°. عند د، د أ=(2،−4)، ود ب=(−6،0)؛ الداخلي−12 ومقدار المتجهي24؛ الزاوية أ د ب≈116.565°.

ج توافق الشعاع العلوي أ ت، ود توافق السفلي أ س. ليست القاعدة أن كل رأس على المحيط يعطي63.435؛ الجهة بالنسبة إلى الوتر جزء من اختيار الزاوية الصحيحة.

نستعمل atan2 للمراجعة العددية من مقدار الضرب المتجهي والضرب الداخلي، ثم نعرض الدرجة. تغيير إشارة الداخلي يميز الحادة من المنفرجة؛ الحسابات مستقلة عن قياس أي صورة.

نصف القطر والقوس يراجعان النتيجة

نصف القطر إلى نقطة التماس عمودي على المماس. [2]

في المثال، أ و=(−5،0) وأ ب=(−8،4). الداخلي40 ومقدار المتجهي20؛ زاوية و أ ب=atan2(20،40)≈26.565°. داخل الزاوية القائمة بين أ و وأ ت، يترك الوتر63.435° مع أ ت.

عكس اتجاه المماس إلى أ س يجعل الزاوية مع الوتر180−63.435≈116.565°. التعامد مع نصف القطر لا يجعل أي وتر عموديًا على المماس؛ الوتر أ ب هنا ليس قطرًا.

للقوس نفسه، الزاوية المركزية ضعف الزاوية المحيطية. [3] يجب أن نختار القوس الذي لا يحتوي رأس الزاوية المحيطية.

بين و أ=(5،0) وو ب=(−3،4)، الداخلي−15 ومقدار المتجهي20؛ الزاوية المركزية الأصغر≈126.870°. ج على القوس الكبير أ ب، فتقابل زاويتها القوس الصغير ونصف126.870≈63.435°.

د على القوس الصغير، فتقابل زاويتها القوس الكبير: زاويته المركزية المنعكسة360−126.870≈233.130°، ونصفها≈116.565°. أخذ نصف الزاوية المركزية الأصغر في الحالتين كان سيعطي الجواب نفسه خطأ.

كل الأرقام العشرية مقربة لثلاث منازل؛ القيم غير المقربة تجمع180 أو360 بحسب الصيغة. في العنوان استعملنا63 و117 بالتقريب لأقرب درجة؛ الجداول والحساب المفصل يحددان القيم الأدق.

نقطة داخلية وخط غير مماس لا يحققان الشروط

نضع ق=(0،3) في الدائرة نفسها. و ق²=9<25، فتقع داخلها وليست رأسًا محيطيًا. ق أ=(5،−3)، وق ب=(−3،1)؛ الداخلي−18 ومقدار المتجهي4. زاوية أ ق ب=atan2(4،−18)≈167.471°، فتختلف عن القيمتين السابقتين.

خط س=4 ليس مماسًا لدائرتنا:4²+ص²=25 يعطي ص=3 أو−3. يقطعها عند نقطتين، ولا يمر بأ=(5،0) أصلًا. لا نطبق علاقة المماس والوتر لمجرد أن خطًا رأسيًا مرسومًا قرب أ.

لتلخيص الحالات، الزاوية عند ج المحيطية تقابل الشعاع أ ت، والتي عند د تقابل أ س؛ أما ق فلا تعوض أيًا منهما. لا نكتفي بحفظ قاعدة عددية دون ذكر موقع الرأس.

تحقق من تماس أ، ومن الوتر أ ب، ومن الرأس المحيطي في القطعة المقابلة للشعاع المختار. [1]

يمكن إعادة المثال بعد تدوير الرسم أو نقله دون تغيير الزوايا؛ أعلى وأسفل هما وصفان لإحداثياتنا فقط. الذي نحتاجه في رسم آخر هو الجهة بالنسبة إلى الوتر واتجاه الشعاع، لا أن يكون المماس رأسيًا في الصفحة.