زمن التحليق: متى نضاعف زمن الصعود ومتى نحل معادلة الارتفاع؟

الخلاصة السريعة

زمن التحليق هو مدة حركة المقذوف حتى مستوى الوصول المحدد؛ نحسبه من معادلة الحركة الرأسية، مع إهمال الهواء وثبات g في النموذج. ^[1]

• إذا عاد المقذوف إلى ارتفاع إطلاقه، فإن T = 2uᵧ/g؛ هذه الصيغة المختصرة لا تصلح تلقائيًا لمستوى وصول مختلف. ^[1]
• نختار الأعلى موجبًا: y = y₀ + uᵧt − ½gt² و vᵧ = uᵧ − gt، بينما x − x₀ = uₓt. ^[1]
• عند القمة تكون السرعة الرأسية صفرًا، فيكون زمنها tₚ = uᵧ/g؛ ليس هو زمن التحليق كله. ^[1]
• في المثال المتساوي الارتفاع: uᵧ = 15 م/ث و g = 10 م/ث²؛ القمة بعد 1.5 ثانية، والعودة بعد 3 ثوان، وارتفاع القمة 11.25 مترًا فوق البداية، والمدى 60 مترًا مع uₓ = 20 م/ث.
• من ارتفاع 15 مترًا وبسرعة رأسية 10 م/ث و g = 10 م/ث²، تعطي معادلة الأرض زمنًا مستقبليًا 3 ثوان؛ أما 2uᵧ/g = 2 ثانية فيعيد الجسم إلى ارتفاع 15 مترًا فقط. الجذر −1 ثانية لا يصف وصولًا بعد الإطلاق.

ابدأ بمستوى الوصول

نختار الأعلى موجبًا: y = y₀ + uᵧt − ½gt² و vᵧ = uᵧ − gt، بينما x − x₀ = uₓt. ^[1]

نحدد y₀ لارتفاع البداية و y المطلوب عند النهاية، ثم نحل للزمن. اختيار الأرض صفرًا لا يجبر نقطة الإطلاق على أن تكون صفرًا أيضًا.

في الحسابين التاليين نختار g = 10 m/s² لتبسيط الأرقام، ولا ندعي أنها قيمة دقيقة في كل مكان. كل المعطيات تخص المثال نفسه، والزمن يبدأ لحظة الإطلاق.

العودة إلى الارتفاع نفسه

إذا عاد المقذوف إلى ارتفاع إطلاقه، فإن T = 2uᵧ/g؛ هذه الصيغة المختصرة لا تصلح تلقائيًا لمستوى وصول مختلف. ^[1]

في مثال uᵧ = 15 m/s يكون T = 2 × 15 / 10 = 3 s. ومع uₓ = 20 m/s، تعطي الحركة الأفقية R = 20 × 3 = 60 m.

نراجع الارتفاع عند النهاية: 15 × 3 − 5 × 3² = 45 − 45 = 0. وعند 1.5 ثانية يكون y = 22.5 − 11.25 = 11.25 m فوق البداية. هذه مراجعة مستقلة للعودة وللقمة.

الهبوط أسفل نقطة الإطلاق

نغير البيانات: البداية على ارتفاع 15 مترًا، و uᵧ = 10 m/s، و uₓ = 12 m/s، مع g نفسها. تصبح المعادلة y = 15 + 10t − 5t².

عند الأرض y = 0، نكتب t² − 2t − 3 = 0، ثم (t − 3)(t + 1) = 0. الجذران 3 و −1 ثانية؛ نختار 3 لوصول يقع بعد لحظة إطلاق المثال.

يعطي الجذر −1 زمنًا قبل نقطة البدء على الامتداد الرياضي؛ ليس مدة الرحلة المطلوبة. أما المدى إلى الأرض في المثال فهو 12 × 3 = 36 m.

لو استعملنا 2 × 10 / 10 = 2 s، لوجدنا y(2) = 15 + 20 − 20 = 15 m. لذلك يحدد هذا العدد عودة إلى ارتفاع البداية، ثم تبقى ثانية أخرى للوصول إلى الأرض.

القمة تختلف عن نهاية التحليق

عند القمة تكون السرعة الرأسية صفرًا، فيكون زمنها tₚ = uᵧ/g؛ ليس هو زمن التحليق كله. ^[1]

في المثال الثاني يكون tₚ = 10 / 10 = 1 s، والارتفاع y(1) = 15 + 10 − 5 = 20 m. بعدها يستغرق الوصول إلى الأرض ثانيتين؛ فلا يتساوى زمن الصعود وزمن الهبوط إلى ذلك المستوى.

قراءة الرسم الداخلي تميز ثلاث نقاط: قمة عند ثانية واحدة، وعودة إلى ارتفاع البداية عند ثانيتين، ووصول إلى الأرض عند ثلاث. كل نقطة تجيب عن سؤال مختلف.