شرح القسمة الإقليدية: خارج القسمة والباقي مع الأعداد السالبة

الخلاصة السريعة

القسمة الإقليدية كتابة عدد صحيح على صورة a = bq + r، حيث القاسم b غير صفر، والخارج q والباقي r عددان صحيحان، و 0 ≤ r < |b|.^[1]

• الخارج والباقي محددان بصورة وحيدة عند الالتزام بشرط الباقي.^[1]
• الباقي لا يصبح سالبًا عندما يكون المقسوم أو القاسم سالبًا.^[2]
• في مثالنا: 29 = 8 × 3 + 5؛ الخارج 3 والباقي 5.
• عندما يكون المقسوم سالبًا: −29 = 8 × (−4) + 3؛ الخارج −4 والباقي 3.
• يُفحص الحل بالمساواة وبشرط الباقي معًا؛ تحقق أحدهما وحده لا يكفي.^[3]

ما شروط خارج القسمة والباقي؟

تمثل الرموز المقسوم والقاسم والخارج والباقي. ويمنع الشرط r < |b| ترك مقدار يكفي لقسمة إضافية. أما r = 0 فيعني أن القسمة تامة.^[1]

لنقسم 29 على 8. أقرب مضاعف لا يتجاوز 29 هو 24؛ لذلك يكون الخارج 3، وتبقى خمس وحدات. الحساب: 29 − 24 = 5، والتحقق: 8 × 3 + 5 = 29، و 0 ≤ 5 < 8.

الكتابة 29 = 8 × 2 + 13 صحيحة حسابيًا، لكنها لا تحقق المطلوب؛ لأن 13 أكبر من 8. نضم ثماني وحدات من هذا المقدار إلى المجموعات، فيرتفع الخارج من 2 إلى 3 وينخفض الباقي إلى 5.

كيف نتعامل مع الأعداد السالبة؟

إذا كان القاسم موجبًا، يكون الخارج أكبر عدد صحيح لا يتجاوز ناتج القسمة المعتاد. وللقاسم السالب نستخدم القيمة المطلقة في حد الباقي، مع إبقاء إشارته في المساواة.^[2]

في مثال −29 ÷ 8 نختار المضاعف −32، ثم نضيف 3 حتى نصل إلى −29. أما −29 = 8 × (−3) − 5 فتترك باقيًا سالبًا، ولذلك لا تصلح.

يبين الجدول مثالًا واحدًا بأربع حالات. في كل صف، اضرب القاسم في الخارج ثم أضف الباقي؛ تحصل على المقسوم. يظل الباقي بين صفر و 8، دون بلوغ 8.

لماذا يلزم فحص الباقي؟

لو سمحنا بباقٍ خارج المجال، أمكن كتابة المقسوم بعدة أزواج من الخارج والباقي. وإذا حقق زوجان المجال نفسه، كان فرق الباقيين مضاعفًا للقاسم، وكانت القيمة المطلقة لهذا الفرق أصغر من القيمة المطلقة للقاسم؛ لذا لا يمكن إلا أن يكون صفرًا.^[3]

في الحالة الموجبة، نقرأ 29 ÷ 8 = 3.625 كناتج عشري، بينما نقرأ القسمة الإقليدية خارجًا 3 وباقيًا 5. العدد 0.625 هو الجزء العشري من الناتج؛ وليس هو الباقي 5. اختر الصيغة التي يطلبها السؤال ثم تحقق من وحداتها.

للقراءة المتصلة بهذا الموضوع: طريقة القسمة المطولة: المنازل والصفر والباقي.