شرح المتتابعات: ترتيب الحد وقيمته ومجموع الحدود

كيف نقرأ رمز الحد؟

نرمز إلى قيمة الحد بالرمز a_n، وإلى ترتيبه بالرمز n. نبدأ الترقيم هنا من 1، فتكون الحدود الأولى لقاعدتنا 7,13,19,25,31. يمكن تعريف متتابعة منتهية بعدد محدد من الحدود، أو إعطاء قاعدة تمتد لكل ترتيب صحيح موجب. ^[1]

تحدد القاعدة الصريحة قيمة الحد مباشرة من ترتيبه. فمثلًا a_10=6×10+1=61؛ لم نحتج إلى كتابة الحدود العشرة جميعها. ولا يمثل a_10 مجموع ما سبقه، بل قيمة الحد العاشر وحده. ^[1]

المتتابعة الحسابية: فرق ثابت

إذا انتقلت من حد إلى الذي يليه بإضافة مقدار ثابت، فالمتتابعة حسابية. نسمي ذلك المقدار الفرق المشترك d، وقد يكون موجبًا أو سالبًا أو صفرًا. علاقتها الصريحة a_n=a_1+(n−1)d. يظهر n−1 لأن الوصول من الحد الأول إلى العاشر يحتاج تسع انتقالات. ^[2]

في المثال السابق a_1=7 و d=6، فتكتب القاعدة a_n=7+6(n−1)=6n+1. ويمكن تعريفها تكراريًا: a_1=7 ثم a_n=a_(n−1)+6 لكل n≥2. لا تكفي عبارة «أضف 6» لتحديد القيم إذا لم تذكر من أين تبدأ. ^[1][2]

المتتابعة الهندسية: عامل ضرب ثابت

في مثال مستقل نبدأ بـ 81، ثم نضرب كل حد في ثلث: 81,27,9,3,1. النسبة المشتركة هنا r=1/3، بينما الفروق بين الحدود غير ثابتة. تكون القاعدة الصريحة b_n=81(1/3)^(n−1)؛ ومنها b_5=1. ^[3]

والتعريف التكراري هو b_1=81 ثم b_n=b_(n−1)/3 عندما n≥2. يستعمل اختبار النسبة القسمة على الحد السابق، لذا لا نقسم على صفر عند فحص حدود تضم صفرًا؛ ارجع إلى التعريف المعطى بدل تطبيق الاختبار دون شروط. ^[3]

ليس تغير الفروق وحده دليلًا على أن المتتابعة هندسية. فالقاعدة c_n=n²+2 تعطي 3,6,11,18، وتختلف فروقها ونسبها؛ لذلك لا تنتمي إلى أحد هذين النوعين. الأمثلة تعرض قيم قواعد معلنة، ولا تزعم أن بضعة أعداد تكشف قاعدة وحيدة.

الحد الخامس يختلف عن مجموع أول خمسة

يكتب المجموع الجزئي S_n=a_1+...+a_n. في مثالنا الحسابي قيمة الحد الخامس 31، لكن مجموع أول خمسة 7+13+19+25+31=95. وتتيح العلاقة S_n=n(a_1+a_n)/2 التحقق: S_5=5(7+31)/2=95. ^[4]

وفي المثال الهندسي الحد الخامس 1، والمجموع 81+27+9+3+1=121. يمكن فحصه بالعلاقة S_n=b_1(1−r^n)/(1−r) عندما r≠1. إذا كان r=1 تتساوى الحدود ويكون المجموع nb_1؛ لا نستعمل مقامًا يساوي صفرًا. هذا مجموع منتهٍ، ولا يحتاج الحديث عن مجموع لانهائي. ^[4]

طريقة قصيرة لمراجعة الحل

حدد هل المطلوب ترتيب أم قيمة حد أم مجموع. اكتب بداية الترقيم والحد الأول، ثم القاعدة وشروطها. بعد التعويض، راجع حدودًا صغيرة يدويًا؛ مثلًا تعطي قاعدة المثال الحسابي عند n=1 العدد 7، وعند n=2 العدد 13.

إذا اخترت نوع المتتابعة من بيانات السؤال، افحص فروق الحدود أو نسبها بحسب التعريف، ولا تجعل العلامة «...» بديلًا عن قاعدة واضحة. وعند جمع الحدود، احتفظ برمز مختلف للمجموع كي لا تخلطه بقيمة آخر حد فيه.