شرح النسبة والتناسب: من مقارنة الكميات إلى إيجاد المجهول

النسبة تحدد ترتيب المقارنة

إذا كان لدينا قطعتان زرقاوان وثلاث صفراوات، فنسبة الأزرق إلى الأصفر 2:3، ويمكن كتابتها 2/3. وعكس الترتيب يعطي 3:2؛ لذلك اسم الطرف الأول والثاني جزء من معنى النسبة. ^[1]

تبسط النسبة بقسمة الطرفين على عامل مشترك غير صفري. مثلًا 10:15 = 2:3 بعد القسمة على 5. لا نطرح العدد نفسه من الطرفين، لأن الطرح لا يحافظ عادة على المقارنة.

جزء إلى جزء أم جزء إلى الكل؟

في المجموعة السابقة العدد الكلي 5. نسبة الأزرق إلى الأصفر 2:3، لكن نسبة الأزرق إلى جميع القطع 2:5. لذا يمثل الأزرق خمسي المجموعة، وليس ثلثيها.

إذا أردنا 25 قطعة بالنمط نفسه، فمجموع أجزاء النسبة 2 + 3 = 5، وقيمة الجزء الواحد 25/5 = 5. عدد الزرقاء 2 × 5 = 10، والصفراء 3 × 5 = 15. تحقق بأن المجموع 25 والنسبة 10:15 تبسط إلى 2:3.

وحّد الوحدات عندما تحتاج المقارنة ذلك

نسبة طول 1.5 م إلى 50 سم ليست 1.5:50. نحول 1.5 م إلى 150 سم، فنحصل على 150:50 = 3:1. المقارنة تغيرت ظاهريًا لأن العددين الأولين كانا مكتوبين بوحدتين مختلفتين، لا لأن الطولين تغيرا.

أما المعدل فيقارن أحيانًا نوعين مختلفين من الكميات، مثل مسافة إلى زمن، وتبقى وحدته ذات معنى. لا تخلط النسبة بين طولين بمعدل السرعة. ^[1]

كيف تحل التناسب؟

التناسب مساواة مثل a/b = c/d مع مقامين غير صفريين. بضرب الطرفين في bd نجد ad = bc. هذا هو الضرب التبادلي؛ نتاج مساواة صحيحة لا قاعدة لتخمين مواضع الأعداد. ^[2]

في المثال 4/7 = x/21 نحصل على 4 × 21 = 7x، ثم x = 84/7 = 12. ويمكن ملاحظة أن المقام تضاعف ثلاث مرات، لذا يجب أن يتضاعف البسط ثلاث مرات أيضًا.

عوض في النهاية: 12/21 = 4/7. إذا لم تتساو النسبتان، فراجع ترتيب المقادير والخطوة الحسابية.

متى لا يصح افتراض التناسب؟

لا يعني ارتفاع مقدار أن كل مقدار مرتبط به يرتفع بالنسبة نفسها. استخدام التناسب يحتاج علاقة مبررة في وصف المسألة. مثلًا تكرار مجموعات متطابقة يبرر تناسب عدد القطع مع عدد المجموعات؛ وجود كمية ثابتة إضافية قد يغير العلاقة.

ابدأ بتسمية الكميات، ثم حدد العلاقة، وبعدها اكتب النسب بترتيب متناظر. هذه الخطوات أقصر من إصلاح جواب ناتج عن تناسب لم يكن صحيحًا أصلًا.