قابلية القسمة على 2 و 3 و 5 و 10: القواعد وسبب عملها

الخلاصة السريعة

لاختبار قابلية قسمة عدد صحيح مكتوب بالنظام العشري، ننظر إلى الآحاد عند القسمة على 2 و 5 و 10، وإلى مجموع الأرقام عند القسمة على 3. القبول يعني أن الناتج عدد صحيح والباقي صفر. ^[3]

• على 2: يجب أن يكون رقم الآحاد 0 أو 2 أو 4 أو 6 أو 8. ^[1]
• على 3: يجب أن يقبل مجموع الأرقام القسمة على 3؛ الآحاد وحدها لا تحسم ذلك. ^[1]
• على 5: الآحاد 0 أو 5، وعلى 10: الآحاد 0 فقط. ^[1]
• العدد 6840 يقبل الاختبارات الأربعة؛ آحاده 0 ومجموع أرقامه 18. ^[1]
• الصفر يقبل القسمة على هذه الأعداد غير الصفرية، لأن 0 = d × 0. ^[2]

متى تكفي منزلة الآحاد؟

نكتب العدد غير السالب n = 10q + d، حيث d آحاده. الجزء 10q مضاعف 2 و 5 و 10، فيتوقف الباقي على d: تقبل 2 الأرقام الزوجية، وتقبل 5 الصفر والخمسة، ولا يقبل 10 من الآحاد سوى الصفر. ^[2]

مثلًا، ينتهي 7325 بخمسة، فيقبل القسمة على 5 ولكنه لا يقبل 2 أو 10. أما 6840 فنهايته صفر، لذا ينجح في هذه الاختبارات الثلاثة. الاختبارات تخص القسمة دون باقٍ، لا إمكان كتابة ناتج كسري. ^[1]

لماذا نستعمل مجموع الأرقام مع 3؟

كل قوة للعدد 10 تترك باقي 1 عند القسمة على 3. لذلك يترك 6840 ومجموع أرقامه 6 + 8 + 4 + 0 الباقي نفسه، ومجموعها 18. ^[2]

مجموع أرقام 7325 يساوي 17، فلا يقبل 3. لا نختبر هنا قيمة الآحاد 5 وحدها، ولا نجمع القيم المكانية 6000 و 800 و 40 في المثال الأول؛ المطلوب جمع الأرقام نفسها. ^[1]

نتحقق بالقسمة: 6840 ÷ 3 = 2280، أما 7325 = 3 × 2441 + 2. الباقي 2 يوافق فشل اختبار المجموع. ^[3]

ما حدود هذه القواعد؟

تنطبق الاختبارات على الأعداد الصحيحة المكتوبة بالنظام ذي الأساس 10. للعدد السالب، تختبر أرقام قيمته المطلقة؛ تغير الإشارة لا يغير وجود عامل صحيح للقاسم المطلوب. ^[2]

من التعريف، 0 مضاعف لكل قاسم غير صفري، ومنه 0 ÷ 3 = 0. القسمة على الصفر غير معرفة؛ فلا نستنتج أن الصفر يصلح قاسمًا. ^[2]

لا ينجح العدد في كل اختبار لمجرد نجاحه في واحد: العدد 222 يقبل 2 و 3، لكنه لا يقبل 5 ولا 10. اختيار القاعدة المطلوبة أولًا يجعل سبب الإجابة واضحًا. ^[1]

للقراءة المتصلة بهذا الموضوع: طريقة القسمة المطولة: المنازل والصفر والباقي.