عمود عند بداية شعاع: اختر مركزًا يضمن تقاطعًا أمامها

سم البداية والاتجاه ثم اختر المركز

الشعاع جزء من مستقيم يبدأ عند نقطة ويمتد في اتجاه واحد. [3]

نضع بداية المثال ن=(0،0) سم، ونرسم سهمًا إلى اليمين؛ نقاط هذا الشعاع على ص=0 ولها س≥0. لا نعامل الجزء خلف ن كأنه جزء من الشعاع نفسه. المطلوب إنشاء عمود يمر بن، مع اختيار نقطة تقاطع أخرى أمامها في خطوات الدائرة.

اختر مركزًا خارج الخط واضبط الفتحة حتى بداية الشعاع، ثم ارسم دائرة تمر بها وتقطع الشعاع. [1]

في مثالنا نختار م=(4،3) سم. مربع م ن=4²+3²=25، لذلك الفتحة 5 سم. م تقع أعلى الخط، وإسقاطها الأفقي يقع إلى يمين ن. سنراجع أن هذا الاختيار يعطي تقاطعًا ثانيًا مختلفًا؛ لا نكتفي بوصف المركز بأنه خارج الخط.

مد القطر من التقاطع الثاني عبر المركز

من تقاطع الدائرة مع الشعاع مد خطًا عبر المركز حتى طرف الدائرة الآخر؛ صل ذلك الطرف ببداية الشعاع. [1]

معادلة دائرتنا (س−4)²+(ص−3)²=25. على الخط الأفقي ص=0 نحصل على (س−4)²+9=25، ثم (س−4)²=16. الحلان س=0 وس=8: الأول ن، والثاني ب=(8،0). ب أمام ن على الشعاع، والمسافة ن ب=8 سم.

نعبر من ب=(8،0) إلى المركز م=(4،3)، ثم نكمل بالمتجه نفسه (−4،3) إلى أ=(0،6). بذلك م منتصف أ ب، وطول ب م=م أ=5 سم. أ ب=10 سم، وهو قطر الدائرة، لا نصف قطرها. الوصلة ن أ من (0،0) إلى (0،6) رأسية في النموذج.

لا نستعمل ن نفسها كنقطة التقاطع التي يبدأ منها القطر في هذه الخطوة. هي البداية التي نريد أن يمر بها العمود، وب هي التقاطع المختلف الذي وجدناه على اتجاه السهم. كتابة الاسمين قبل مد القطر تمنع خلط وظيفة كل نقطة في المثال.

لماذا تكون الوصلة عمودية؟

بما أن أ ب قطر ون نقطة أخرى على الدائرة، تكون زاوية أ ن ب قائمة حسب طاليس؛ ن أ عمودي على الشعاع ن ب. [2]

نراجع الأرقام مباشرة: م أ²=(0−4)²+(6−3)²=16+9=25، وم ب²=(8−4)²+(0−3)²=16+9=25؛ طرفا القطر على الدائرة. ون تقع عليها أيضًا لأن م ن²=25. النقاط أ ون وب مختلفة، فلا نطبق زاوية مثلث على رأسين اندمجا.

المتجه ن أ=(0،6) والمتجه ن ب=(8،0)، وحاصل ضربهما الداخلي 0×8+6×0=0. الحساب يوافق التعامد الذي برهنته المبرهنة. لا تحتاج هذه المراجعة إلى قراءة زاوية من الصورة أو مد الشعاع إلى اليسار لتحديد نقطة بناء.

يمكن كتابة الطرف المقابل لب باستخدام منتصف القطر: أ=2م−ب. في المثال 2(4،3)−(8،0)=(0،6). هذه معادلة إحداثية مستقلة تساعد على مراجعة موضع أ بعد الرسم، ولا تجعل أي وتر عبر نقطة خارج المركز قطرًا.

المركز خارج الخط لا يضمن تقاطعًا على الشعاع

نثبت البداية ن=(0،0) والاتجاه إلى اليمين، ونقارن ثلاثة مراكز: (4،3)، و(0،3)، و(−4،3) سم. كل منها خارج الخط الأفقي. الأولى أعطتنا تقاطعًا ثانيًا عند (8،0). الثانية تجعل المعادلة س²+(ص−3)²=9؛ عند ص=0 نجد س²=0، أي ن وحدها. الدائرة تتماس عند البداية بدل قطع الشعاع في نقطة أخرى.

الثالثة م=(−4،3) نصف قطرها 5 سم، ومعادلتها (س+4)²+(ص−3)²=25. عند ص=0 نجد (س+4)²=16، فيكون س=0 أو س=−8. التقاطع الثاني خلف البداية. إنه على المستقيم الذي يحمل الشعاع، لكنه ليس على الشعاع ذي س≥0. الرسم الداخلي يميز الامتداد الخلفي بخط متقطع.

لنعمم الاختيار: مركز م=(ك،هـ)، وفتحة تمر بن تجعل مربع نصف القطر ك²+هـ². بتعويض ص=0 في (س−ك)²+(ص−هـ)²=ك²+هـ² نحصل على س²−2ك س=0، أي س(س−2ك)=0. التقاطع المختلف سيكون ب=(2ك،0)، لذا نحتاج ك>0، وأن هـ≠0 كي يكون المركز خارج الخط.

عندئذ الطرف المقابل أ=2م−ب=(0،2هـ)، فيكون ن أ رأسيًا وطوله 2|هـ|. إذا هـ<0 ينشأ العمود أسفل الخط بدل أعلاه. وإذا ك=0 يندمج التقاطعان، وإذا هـ=0 يندمج أ مع ن وتفشل الزاوية المطلوبة. هذه شروط مستخرجة من النموذج الإحداثي، لا قياسات من رسم الشاشة.

سجل المثال المقبول: م=(4،3)، الفتحة 5 سم، ب=(8،0)، أ=(0،6)، القطر 10 سم، الوصلة المطلوبة ن أ=6 سم. بعد اختيار مركز آخر، احسب التقاطع المختلف أو تحقق من وجوده أمام السهم على الورق قبل مد القطر. الصور على الشاشة ليست قياسًا بالمسطرة على الورقة.