فرق زاويتين بالفرجار: ميّز القياس الصغير من الطرح الموجه

من علامة الضلع النهائي إلى جهة الطرح

ارسم قوسًا من رأس الثانية يقطع ضلعيها، وكرر نصف القطر عند رأس الأولى. انقل المسافة بين علامتي الثانية من علامة الضلع النهائي للأولى، ثم صل الرأس بتقاطع القوسين في جهة الطرح. [1]

في مثالنا شعاع البداية أفقي إلى اليمين؛ الأولى ترتفع منه عكس عقارب الساعة. من ضلعها النهائي ننسخ الثانية مع عقارب الساعة. إذا كانت الأولى أكبر، يقع الناتج داخلها؛ إذا كانت الثانية أكبر، قد يتجاوز النسخ شعاع البداية إلى أسفله. [2]

لا تختَر تقاطعًا اعتمادًا على كونه فوق الورقة أو تحتها فقط. سم شعاع البداية والضلع النهائي، ثم اكتب جهة النسخ. عند تدوير الورقة تتغير جهات أعلى وأسفل، لكن علاقة الدوران بين الشعاعين تبقى محددة.

نعالج زاويتين مرسومتين، قياس كل منهما أكبر من0° وأصغر من180°، ونصف قطر موجبًا في مستوى إقليدي. لا نزعم أن كل قياس رقمي يمكن إنشاؤه من الصفر بالفرجار؛ الأعداد التالية تعرّف مخططنا وتتيح فحصه حسابيًا.

مثال120 درجة ناقص45 درجة

نختار رأس الثانية ن=(0،0)، وعلامتي قوسها ذي نصف القطر4 عند أ=(4،0) وب=(2√2،2√2). مربع طول ن ب=8+8=16؛ زاويتها45° لأن مركبتي ب متساويتان وموجبتان.

مربع الوتر أ ب=(4−2√2)²+(2√2)²=32−16√2=16(2−√2). الفتحة المنقولة4√(2−√2)≈3.061467 سم؛ هذه مسافة مستقيمة، لا طول القوس المنحني.

عند رأس الأولى و=(0،0)، نضع البداية ج=(4،0) والضلع النهائي عبر د=(−2،2√3). مربع طول و د=4+12=16؛ اتجاهه120°. الدائرة الأساسية س²+ص²=16، ودائرة نقل الوتر من د هي(س+2)²+(ص−2√3)²=32−16√2.

بطرح المعادلة الأولى من الثانية، ثم نقل الثابت16، نجد4س−4√3ص=−16√2، أي س−√3ص=−4√2. الحلان على الدائرة هما س=(√6−√2،√6+√2) وهـ=(−√6−√2،√6−√2). نستخدم اسم س للنقطة النهائية؛ والرمزان س وص داخل المعادلات هما الإحداثيان.

للنقطة س، مربع البعد عن و هو(√6−√2)²+(√6+√2)²=16. كما أن س−√3ص=−4√2، فتقع على دائرة نقل الوتر. إحداثياها هما4جتا75° و4جا75°؛ اتجاهها75°، ومن د إلى س نسخنا45° مع عقارب الساعة.

الأعداد العشرية للفحص فقط؛ الإحداثيات ذات الجذور تحدد المثال دون تقريب. لا نستبدل فتحة مأخوذة من نموذج فعلي برقم مقرب ثم ننسب إليه دقة الإنشاء الأصلي.

الحفاظ على45 درجة لا يحدد جهة النسخ

تساوي نصفَي القطر والوتر مع نظائرها يجعل مثلثَي النسخ متطابقين بثلاثة أضلاع، فتتساوى زاويتاهما عند الرأسين. [3]

في مثالنا، المثلث الأصلي ن أ ب والمثلث و د س لهما ضلعان طولهما4 والوتر4√(2−√2). زاوية د و س هي45°. بين شعاع البداية و ج والشعاع و س يبقى75°؛75°+45°=120°.

النقطة هـ تحقق المسافتين أيضًا. مربع بعدها عن و يساوي16، وتحقق المعادلة س−√3ص=−4√2. لكن إحداثييها يساويان4جتا165° و4جا165°؛ تقع بعد د بعكس عقارب الساعة، فتعطي120°+45°=165° بدل الفرق.

نفحص الجهة بالمحدد. المتجه د=(-2،2√3)، ود×ج=−8√3<0. أما د×س=−8√2<0، ود×هـ=8√2>0. تقاطع الطرح س في جهة شعاع البداية بالنسبة إلى المستقيم الحامل للضلع النهائي؛ التقاطع الآخر في الجهة المقابلة.

هذا الفحص يوضح سبب اختيار س رغم أن كلا التقاطعين يحققان طول الوتر نفسه. عندما تكون فتحتا النسخ صحيحتين والناتج خاطئًا، راجع الجهة قبل أن تعيد الأقواس كلها. الصور هنا مؤلفة بالإحداثيات، ولا تشهد على نتيجة فرجار حقيقي.

عكس الترتيب ونتيجة الصفر

إذا كانت الثانية أكبر من الأولى، يظل القياس الصغير هو القيمة المطلقة للفرق؛ أما الطرح الموجه فقد يكون سالبًا. [2]

نعكس المثال: نبدأ من45° وننسخ120° مع عقارب الساعة. اتجاه النهاية45°−120°=−75°. لنصف قطر4، علامتها ت=(√6−√2،−√6−√2)، ومربع بعدها عن الرأس16. تنعكس علامة س السابقة تحت المحور، لكن الطول الزاوي الصغير75° لا يتغير.

تختلف إجابة السؤالين: «ما مقدار الفرق الصغير؟» جوابه75°، و«ما نتيجة الدوران الموجه من البداية؟» جوابه−75° في الترتيب الثاني. نختار الإشارة الموجبة لعكس عقارب الساعة في الحساب، فلا نمحو علامة السالب من عملية طلبت اتجاهًا.

إذا كانت الزاويتان120° و120°، ننسخ الثانية من الضلع النهائي للأولى مع عقارب الساعة، فتعود النهاية إلى ج=(4،0). الوتر الأصلي لزاوية120° بنصف قطر4 هو4√3، ومربع د ج=36+12=48؛ تتحقق الفتحة، مع أن الشعاعين النهائي والابتدائي متطابقان.

الناتج120°−120°=0°، وكذلك القيمة المطلقة صفر. نقول «غير سالبة» عند وصف القيمة المطلقة؛ كلمة «موجبة» تستبعد الصفر خطأً. لم تتحد علامتا الزاوية المعطاة، ولم تكن فتحة الفرجار صفرًا؛ التطابق حدث بين البداية والنهاية لأن القياسين متساويان.

في النطاق0<الأولى،الثانية<180° يكون الفرق الموجه بين−180° و180° دون الطرفين، والقياس الصغير أقل من180° أو يساوي0°. الزوايا الأصلية0° أو180° والقياسات المنعكسة أو الدورات المتعددة خارج هذا التسلسل المحدد. راجع المطلوب: مقدار غير موجه أم دوران بإشارة؟