قاعدة لوبيتال تحتاج فحص الصورة والشروط قبل اشتقاق البسط والمقام. [1]
الخلاصة السريعة
الصفران وحدهما لا يغنيان عن الشروط. [1]
- مثالان مؤلفان بلا وحدات عند x→2: A=(x³−8)/(x−2) وB=(x²+1)/(x+2). نهايتا البسط والمقام في A صفران؛ في B هما 5 و4. [2]
- حالة كافية هنا: f وg قابلتان للاشتقاق بمشتقتين مستمرتين حول a، وf(a)=g(a)=0، وg′(a)≠0. عندها lim(f/g)=lim(f′/g′) عند x→a. هذه حالة خاصة، وليست جميع صيغ لوبيتال. [1]
- في A تتحقق هذه الشروط: مشتقتا البسط والمقام 3x² و1. نهاية نسبتهما عند 2 هي 12؛ فتكون نهاية A هي 12. [1]
- تحقق بالتحليل: x³−8=(x−2)(x²+2x+4). عندما x≠2 يصبح A=x²+2x+4؛ نهايته 12. يظل الكسر الأصلي غير معرف عند 2؛ النهاية لا تملأ قيمته تلقائيًا. [2]
- في B نهاية المقام 4≠0؛ نطبق قانون قسمة النهايات، فنحصل على 5/4. نسبة المشتقتين 2x/1 نهايتها 4؛ هذا جواب خاطئ للكسر الأصلي. الصورة ليست غير معينة. [2]
- الرمز 0/0 يصف نهايتي البسط والمقام، ولا يمثل قسمة عددين. لوبيتال تقارن نهاية الكسر بنهاية نسبة مشتقتين؛ لا تحسب مشتقة الكسر نفسه. [1]
افحص نهايتي البسط والمقام
مثالان مؤلفان بلا وحدات عند x→2: A=(x³−8)/(x−2) وB=(x²+1)/(x+2). نهايتا البسط والمقام في A صفران؛ في B هما 5 و4. [2]
حدد الحالة التي نستعملها
حالة كافية هنا: f وg قابلتان للاشتقاق بمشتقتين مستمرتين حول a، وf(a)=g(a)=0، وg′(a)≠0. عندها lim(f/g)=lim(f′/g′) عند x→a. هذه حالة خاصة، وليست جميع صيغ لوبيتال. [1]
طبق القاعدة على A
في A تتحقق هذه الشروط: مشتقتا البسط والمقام 3x² و1. نهاية نسبتهما عند 2 هي 12؛ فتكون نهاية A هي 12. [1]
تحقق بطريقة أخرى
تحقق بالتحليل: x³−8=(x−2)(x²+2x+4). عندما x≠2 يصبح A=x²+2x+4؛ نهايته 12. يظل الكسر الأصلي غير معرف عند 2؛ النهاية لا تملأ قيمته تلقائيًا. [2]
اختبر التبديل الخاطئ في B
في B نهاية المقام 4≠0؛ نطبق قانون قسمة النهايات، فنحصل على 5/4. نسبة المشتقتين 2x/1 نهايتها 4؛ هذا جواب خاطئ للكسر الأصلي. الصورة ليست غير معينة. [2]
افصل النهاية عن الاشتقاق
الرمز 0/0 يصف نهايتي البسط والمقام، ولا يمثل قسمة عددين. لوبيتال تقارن نهاية الكسر بنهاية نسبة مشتقتين؛ لا تحسب مشتقة الكسر نفسه. [1]
المراجع
أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.