قواعد القوى في الرياضيات: الأسس الصحيحة مع أمثلة

الخلاصة السريعة

تختصر قواعد القوى عمليات على الأساس نفسه: نجمع الأسس في الضرب، ونطرحها في القسمة، ونضربها عند رفع قوة إلى قوة. نفترض الأساسات غير صفرية والأسس صحيحة هنا. ^[1]

• للأساس نفسه: a^m × a^n = a^(m+n) و a^m/a^n = a^(m−n). ^[1]
• رفع قوة إلى قوة يعطي (a^m)^n = a^(mn). ^[1]
• مع a ≠ 0: a^0 = 1 و a^(−n) = 1/a^n. ^[1]
• في مثالنا: 3^4 × 3^(−6) = 1/9.
• الأقواس تفرق في مثالنا بين (−4)^2 = 16 و −4^2 = −16.

الأساس نفسه: الجمع والطرح بين الأسس

جمع الأسس في قاعدة الضرب لا يعني جمع القيم، وطرح الأسس في القسمة يحافظ على ترتيب البسط والمقام. لا نطبق اختصار الأساس الواحد على أساسين مختلفين. ^[1]

نختار 3^4 × 3^(−6): مجموع الأسين 4 + (−6) = −2، والناتج 3^(−2) = 1/9. وبالقيم العددية، 3^4 = 81 و 3^(−6) = 1/729؛ ضربهما يعطي 81/729 = 1/9.

في قسمة أصلية أخرى، 5^2/5^4 = 5^(2−4) = 5^(−2) = 1/25. قلب الكسر يعطي 5^4/5^2 = 25، ولذلك لا نستبدل 2−4 بـ 4−2 لمجرد أن الناتج الأول سالب.

أما 2^3 × 3^2 ففي مثالنا تساوي 8 × 9 = 72. الكتابة 6^5 = 7776 لا تعطي النتيجة نفسها؛ المثال لا يملك أساسًا مشتركًا، ولا أسًا مشتركًا يسمح بالاختصار الذي استعملناه قبل قليل.

قوة القوة والأس السالب والصفر

الأس السالب يحدد مقلوب القوة، ولا يجعل قيمتها سالبة تلقائيًا. والأس صفر يعطي 1 مع أساس غير صفري؛ أما الصفر مرفوعًا إلى أس سالب فغير معرف. لا نستعمل 0^0 في هذا المرجع. ^[1]

قارن في مثالنا (2^3)^4 مع 2^3 × 2^4. الأولى 2^12 = 4096؛ لأن 3 × 4 = 12. والثانية 2^7 = 128؛ لأن 3 + 4 = 7. الرسم الرئيسي يضع الحسابين بجانب بعضهما كي تظهر العملية التي جرت بين الأسين.

نختار (3/5)^(−2). نحسب مقلوب الكسر ثم مربعه: (5/3)^2 = 25/9. وبمسار آخر، (3/5)^2 = 9/25، ومقلوبه 25/9. النتيجة موجبة في هذا المثال، ولم تحولها الإشارة الموجودة في الأس إلى عدد سالب.

ومع 7^0 نحصل على 1، بينما 0^3 = 0 في المثال الآخر. اختلاف الأساس والأس واضح هنا: أحدهما أساس 7 وأس 0، والآخر أساس 0 وأس 3.

قوة حاصل الضرب والأقواس

للأس الصحيح، تتوزع قوة حاصل الضرب على عوامله، وقوة حاصل القسمة على البسط والمقام مع مقام غير صفري. نطاقنا هنا الأسس الصحيحة؛ قوانين الجذور تحتاج شروطًا أخرى. ^[1]

في المثال المستقل (2 × 5)^3 = 10^3 = 1000. وبالطرف المفكك 2^3 × 5^3 = 8 × 125 = 1000. كذلك (6/3)^2 = 4، و 6^2/3^2 = 36/9 = 4.

نختار الآن (−4)^2: العاملان هما سالب 4 وسالب 4، فيكون الحاصل 16. أما −4^2 فيقرأ سالب مربع 4، فيساوي سالب 16. الرسم داخل المقال يعرض موضع الإشارة والأقواس، ولا يستنتج علامة الناتج من وجود رمز ناقص وحده.

للمراجعة، احسب (3^2 × 3^3)/3^4. نجمع أولًا 2 + 3 = 5، ثم نطرح 4، فنحصل على 3^1 = 3. وبالقيم (9 × 27)/81 = 243/81 = 3. توافق المسارين يختبر النتيجة التي حسبناها.

للقراءة المتصلة بهذا الموضوع: حل المعادلات الأسية: توحيد الأساس واللوغاريتم والتعويض.