نراجع هنا القوانين المنطقية من خلال جدول صدق ومثال تحليلي. نوضح في كل خطوة ما الذي نتحقق منه، ونحافظ على معنى واحد لكل رمز في المثال.
الخلاصة السريعة
تُستخدم قوانين المنطق لتحويل العبارات إلى صيغ مكافئة، أي صيغ تتساوى قيم صدقها في جميع الحالات الممكنة. [1]
- في المنطق ثنائي القيمة، ترمز 1 للصدق و 0 للكذب؛ ومن قوانين الهوية p∧1≡p و p∨0≡p. [2]
- التبديل يغير ترتيب الطرفين، والتجميع يغير الأقواس، والتوزيع يفك تركيب الوصل والفصل وفق قوانينه. [2]
- قانونا الامتصاص هما p∨(p∧q)≡p و p∧(p∨q)≡p. [2]
- في المثال الأصلي، (p∧q)∨(p∧¬q) تبسط إلى p؛ تتطابق النتيجتان في الحالات الأربع.
- إثبات التكافؤ بجدول الصدق يحتاج جميع الحالات؛ تطابق صف واحد لا يكفي. [1]
معنى القانون وقيم الصدق
نعمل هنا في المنطق الكلاسيكي ثنائي القيمة. الرمز∧ هو «و»، والرمز∨ هو «أو» الشاملة، والرمز¬ ينفي القضية. الرمزان 1 و 0 قيمتا صدق، وليسا دعوة لتطبيق جمع الأعداد وضربها دون تعريف. [2]
يمكن تبديل الطرفين في الوصل أو الفصل. وفي التجميع نحافظ على العملية ونغير موضع الأقواس: (p∧q)∧r≡p∧(q∧r)، ومثلها مع∨. هذا يختلف عن خلط العمليتين وإهمال الأقواس. [2]
| القانون | صيغة تمثله |
|---|---|
| التبديل | p∧q≡q∧p [2] |
| التوزيع | p∧(q∨r)≡(p∧q)∨(p∧r) [2] |
| الهوية | p∧1≡p؛ p∨0≡p [2] |
| المتمم | q∨¬q≡1 [2] |
تبسيط عبارة خطوة خطوة
لنطبق القوانين على مثال أصلي: F=(p∧q)∨(p∧¬q). يظهر p في الفرعين، فنكتب F=p∧(q∨¬q) باستخدام التوزيع في الاتجاه العكسي. وبما أن أحد q ونفيها صادق، تصبح العبارة p∧1، ثم p. سمّ القانون في كل انتقال؛ لا تحذف رمزًا لأن الشكل يبدو متكررًا.
وفي الامتصاص، يكفي p في p∨(p∧q)؛ إذا صدقت p صدق الفصل كله، وإذا كذبت كذب الفرعان. أما p∧(p∨q) فلا يصدق دون p، ومع صدقها يصدق القوس. يبين هذا التفسير سبب الصيغتين بدل حفظهما معكوسًا. [2]
جدول الصدق يفحص كل الحالات
تتكافأ عبارتان إذا اتفق صدقهما لكل تعيين لقيم القضايا. نقارن العمودين كاملين، ولا نكتفي بحالة واحدة مناسبة. [1]
للمثال السابق أربع حالات مرتبة (p,q): (1,1) و (1,0) و (0,1) و (0,0). نتائج p∧q هي 1 و 0 و 0 و 0، ونتائج p∧¬q هي 0 و 1 و 0 و 0. بفصل الفرعين نحصل على 1 و 1 و 0 و 0؛ وهي قيم p بالترتيب نفسه.
الرسم داخل المقال يعرض الحساب كاملًا. يمكنك الرجوع إلى أي صف لمعرفة الفرع الذي جعله صادقًا، ثم مقارنة النتيجة بخطوات التبسيط. جدول القيم والبرهان بالقوانين يختبران المثال من طريقين مختلفين.
المصادر ومتابعة القراءة
- Applied Discrete Structures: التكافؤ والاستلزام (يفتح في نافذة جديدة)discretemath.org
- Applied Discrete Structures: قوانين المنطق (يفتح في نافذة جديدة)discretemath.org
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.