قوانين حركة البندول: متى تصح علاقة الزمن الدوري؟

الخلاصة السريعة

تُعلّق في البندول البسيط كتلة نقطية بخيط خفيف. وللزوايا الصغيرة تكون الفترة تقريبًا T₀ = 2π√(L/g)، حيث L الطول و g تسارع الجاذبية؛ استقلالها عن الكتلة حكم داخل هذا النموذج. ^[1]

• الوزن mg إلى أسفل، والشد نحو نقطة التعليق. المركبة المماسية المسترجعة −mg sinθ، والإشارة تصف اتجاه الرجوع؛ الكتلة ليست قوة ثالثة. ^[1]
• نفترض خيطًا لا يتمدد وكتلة خيط مهملة، ونستبعد التخميد في الحساب المثالي. ^[1]
• عند g المختارة 10 متر/ثانية²، يزيد طول 0.4 إلى 1.6 متر الفترة من نحو 1.257 إلى 2.513 ثانية.
• نصف g مع طول 0.4 يرفع الفترة بعامل √2 في المثال المستقل.
• للزاوية الصغيرة المقاسة بالراديان نستعمل sinθ ≈ θ؛ صلاحية تقريب الفترة تتقيد بهذه الحدود، ولا تفترض ثبات الفترة عند كل سعة. ^[1]
• فارق جيب الزاوية عند 10 درجات نحو 0.510%؛ ليس هذا حساب خطأ زمن الدورة.

قوتان واتجاهان مختلفان

الوزن mg إلى أسفل، والشد نحو نقطة التعليق. المركبة المماسية المسترجعة −mg sinθ، والإشارة تصف اتجاه الرجوع؛ الكتلة ليست قوة ثالثة. ^[1]

نفترض خيطًا لا يتمدد وكتلة خيط مهملة، ونستبعد التخميد في الحساب المثالي. ^[1]

يوضح الرسم موضعًا مائلًا؛ المسافة L من التعليق إلى الكتلة، والزاوية من الخط الرأسي، لا من السهم الذي يمثل الوزن.

لو سمينا سهم الشد «كتلة»، لخلطنا الجسم الموصوف بالقوة المؤثرة عليه. لهذا يحتفظ الرسم باسمين للقوتين، ويضع رمز الطول على الخيط ورمز الزاوية قرب التعليق؛ كل رمز يجيب عن سؤال مختلف.

الصورة تمثل موضعًا واحدًا للتفسير، ولا تقيس فترة حركة فعلية. في حسابنا التالي نختار قيم L و g ونعلنها، بدل استخراج أرقام من طول الخيط المرسوم على الشاشة.

مثال: أربعة أضعاف الطول، ضعفا الفترة

اخترنا L = 0.4 m و g = 10 m/s²، مع شروط النموذج والزاوية الصغيرة. بالتعويض: T₀ = 2π√(0.4/10) = 0.4π ≈ 1.25664 s. هذه قيم تعليمية، لا قياس جاذبية في مدينة معينة.

لبندول افتراضي ثان نختار L = 1.6 m مع g نفسها. نحصل على T₀ = 0.8π ≈ 2.51327 s. الطول صار أربعة أضعاف، والفترة ضعفًا واحدًا؛ لأن نسبة الفترتين √(1.6/0.4) = 2.

في مقارنة ثالثة نعيد الطول إلى 0.4 متر ونختار g = 5 m/s². الفترة المحسوبة نحو 1.77715 ثانية، أي √2 من الأولى. حافظنا على الطول وغيّرنا تسارعًا افتراضيًا، لذلك لا ننسب الزيادة إلى الطول.

يمكنك مراجعة كل صف بسؤال واحد: أي معطى تغيّر وأيهما بقي؟ هذه الطريقة تكشف خطأ القول إن مضاعفة الطول تضاعف الفترة؛ وفق الأرقام التي اخترناها، مضاعفتها احتاجت أربعة أضعاف الطول.

تقريب جيب الزاوية لا يعني قياس خطأ الفترة

للزاوية الصغيرة المقاسة بالراديان نستعمل sinθ ≈ θ؛ صلاحية تقريب الفترة تتقيد بهذه الحدود، ولا تفترض ثبات الفترة عند كل سعة. ^[1]

عند 10 درجات: θ ≈ 0.1745329 و sinθ ≈ 0.1736482. فرق التقريب نسبته إلى الجيب الحقيقي نحو 100×(θ/sinθ−1) = 0.5095%. هذه عملية حسابية لتقريب جيب الزاوية، لا نسبة خطأ زمن الدورة.

عند 60 درجة نحصل على θ ≈ 1.0471976 و sinθ ≈ 0.8660254، والفارق النسبي نحو 20.92%. لذلك يباعد الرسم بين الخط والمنحنى مع ازدياد الزاوية، ولا يعرضهما كتطابق دائم.

لم نحسب في هذه المقالة حل الفترة عند السعات الكبيرة، ولم نحول 20.92% إلى حكم عن زمنها. كي نجيب عن ذلك السؤال نحتاج حساب الحركة خارج التقريب المستخدم؛ إبقاء اسم المحور ونوع الخطأ واضحين يمنع استنتاجًا لم نجره.