قوة الشد في الفيزياء: خيط مثالي ومسألة كتلتين

الخلاصة السريعة

قوة الشد في الفيزياء قوة سحب بمحاذاة خيط أو حبل مشدود؛ نحدد مقدارها من القوى والتسارع. ^[1]

• الشد يسحب الجسم بمحاذاة الخيط؛ نضع سهمه على الجسم الذي نحلل حركته. ^[1]
• في نموذج خيط مهمل الكتلة وبكرة مهملة الكتلة دون احتكاك، يكون مقدار الشد واحدًا؛ وثبات طول الخيط يربط تسارعي الكتلتين. ^[1][2]
• نرسم كل كتلة وحدها: للأخف الصاعدة T − m₁g = m₁a، وللأثقل الهابطة m₂g − T = m₂a. ^[2]
• للكتلتين 3 و 5 كغ ومع g = 9.8 م/ث²: التسارع 2.45 م/ث²، والشد 36.75 نيوتن؛ الأخف تصعد والأثقل تهبط في المثال.
• يساوي الشد الوزن إذا كان الجسم المعلق دون تسارع وكانت القوتان الوحيدتان هما الشد والوزن؛ مع التسارع قد يختلفان. ^[1][2]

أين نرسم سهم الشد؟

الشد يسحب الجسم بمحاذاة الخيط؛ نضع سهمه على الجسم الذي نحلل حركته. ^[1]

في كتلة معلقة بخيط رأسي يكون سهم شد الخيط عليها إلى أعلى. لا نضيف على الكتلة نفسها قوة سحبها للخيط؛ ذلك سهم يخص جسمًا آخر.

في الرسم الداخلي نفصل الكتلتين تمامًا. لون السهم يميز الشد من الوزن، ومركز كل كتلة هو نقطة بدء مخططها، بحيث يسهل جمع القوى على محور واحد.

ما الشروط التي تجعل الشد واحدًا؟

في نموذج خيط مهمل الكتلة وبكرة مهملة الكتلة دون احتكاك، يكون مقدار الشد واحدًا؛ وثبات طول الخيط يربط تسارعي الكتلتين. ^[1][2]

هذه افتراضات المسألة، لا وصف آلي لكل بكرة وحبل حقيقيين. إن لم تسمح المعطيات بهذه الافتراضات، نراجعها قبل استعمال المعادلتين التاليتين.

اكتب معادلة لكل كتلة

نرسم كل كتلة وحدها: للأخف الصاعدة T − m₁g = m₁a، وللأثقل الهابطة m₂g − T = m₂a. ^[2]

نعتبر اتجاه صعود الكتلة الأولى موجبًا في معادلتها، وهبوط الثانية موجبًا في معادلتها. بجمع المعادلتين يختفي T: m₂g − m₁g = (m₁ + m₂)a.

إذن a = (m₂ − m₁)g/(m₁ + m₂) في هذا النموذج. وبعد إيجاده، نستخرج T = m₁(g + a) أو T = m₂(g − a). ^[2]

لو وضعنا فرق الكتلتين، أي 2 كغ، مقامًا في مثالنا، لخرج 9.8 م/ث² بدل 2.45. المقام المطلوب من المعطيات هو 8 كغ؛ هذا الفحص يكشف خطأ تبديل الجمع بالطرح.

مثال: 3 كغ و 5 كغ

نختار m₁ = 3 kg و m₂ = 5 kg و g = 9.8 m/s². يكون a = (5 − 3) × 9.8 / (3 + 5) = 2.45 m/s².

من جهة الكتلة الأخف: T = 3 × (9.8 + 2.45) = 36.75 N. ومن جهة الأثقل: T = 5 × (9.8 − 2.45) = 36.75 N؛ توافق القيمتين يراجع الحل.

الأوزان 29.4 و 49 نيوتن. لذلك محصلة الأولى إلى أعلى 36.75 − 29.4 = 7.35 N، ومحصلة الثانية إلى أسفل 49 − 36.75 = 12.25 N. قسمة كل محصلة على كتلتها تعطي 2.45 م/ث².

في المخطط ذي الاتجاه الرأسي إلى أعلى موجبًا تصبح محصلة الثانية −12.25 نيوتن وتسارعها −2.45 م/ث². تغيير اصطلاح الإشارة لا يقلب الحركة الفعلية.

هل الشد يساوي وزن الجسم؟

يساوي الشد الوزن إذا كان الجسم المعلق دون تسارع وكانت القوتان الوحيدتان هما الشد والوزن؛ مع التسارع قد يختلفان. ^[1][2]

في مثالنا يقع 36.75 بين الوزنين 29.4 و 49 نيوتن: الشد أكبر من وزن الكتلة الصاعدة وأقل من وزن الهابطة. لذلك لا نضع T = mg للكتلتين ثم نتوقع تسارعًا غير صفري.

ولو جعلنا الكتلتين 4 كغ في النموذج نفسه، لكان البسط صفرًا، والتسارع صفرًا، والشد 4 × 9.8 = 39.2 N. النتيجة تخص المعطيات الجديدة، لا الكتلتين المختلفتين السابقتين.