heaviside: هل المعامل الثاني يغير العتبة؟

افصل دور المدخلين

تعرف الوثائق heaviside بثلاثة فروع: صفر حين يكون المدخل الأول سالبًا، والمعامل الثاني حين يساوي صفرًا، وواحد حين يكون موجبًا. [1]

نسمي المدخل الأول x والمعامل الثاني z، ونكتب H(x,z) في نموذج حسابي مستقل. نؤلف المدخلات [−4,0,2,3,6] ونقرأ القوائم من اليسار إلى اليمين. لا وحدة لهذه الأعداد، وليست درجات حالات أو قياسات.

قبل حساب قائمة، نحدد ما سنغيره: هل نبدل z مع إبقاء x نفسه، أم نبدل التعبير الذي يدخل مكان x؟ السؤالان مختلفان حتى لو ظهر العدد 3 في كل منهما.

غير قيمة الصفر وحدها

نختار z=3. عند x=−4 نأخذ فرع السالب فيكون الخرج 0، وعند x=0 نأخذ القيمة التي اخترناها للصفر، أي 3. المدخلات 2 و3 و6 موجبة، فيكون خرج كل منها 1. القائمة [0,3,1,1,1].

نثبت المدخلات ونغير z إلى 1/4. لا يتغير فرع −4 أو الفروع الموجبة؛ يتغير خرج x=0 وحده إلى 1/4. القائمة [0,1/4,1,1,1]. القائمة الأولى ناقص الثانية [0,11/4,0,0,0].

هذا المثال يكشف تفسيرين غير صحيحين للعدد 3: لم نجعل حد الانتقال عند المدخل 3، ولم نضرب كل خرج موجب في 3. عند x=2 بقي الخرج 1، رغم أن 2 أقل من 3؛ وعند x=6 بقي 1، لا 3.

في نموذجنا، إذا غيرنا z من a إلى b، فإن فرق الخرج H(x,b)−H(x,a) يساوي b−a عند x=0، وصفرًا عند كل x غير صفر. نثبت ذلك من الفروع الثلاثة، لا من حجم العدد أو موضعه في القائمة.

ولو تكرر المدخل صفرًا في قائمة، يتكرر أثر التغيير في كل موضع صفر. في قائمتنا يوجد صفر واحد فقط؛ لذلك مجموع القائمة الأولى ناقص مجموع الثانية 11/4 أيضًا. هذا جمع لأعداد المثال، ولا يصف أثرًا على أداء برنامج أو نموذج.

وجود الخرج 3 عند الصفر يجعل قائمتنا الأولى خارج النطاق [0,1] في ذلك الموضع. لا نحولها إلى احتمال لمجرد تسميتها دالة خطوة. اختيار قيمة الصفر جزء من بطاقة الحساب التي نحتاج قراءتها.

انقل الحد بإزاحة المدخل

نريد الآن مقارنة المدخل x بالحد 3، مع اختيار قيمة 1/4 عند المساواة. نغير المدخل الداخلي إلى x−3 ونبقي z=1/4. نكتب الدالة المؤلفة G(x)=H(x−3,1/4).

عند x=−4 و0 و2، المدخل الداخلي −7 و−3 و−1 سالب، فتكون المخرجات 0. عند x=3 يصير المدخل الداخلي 0 فنأخذ 1/4. وعند x=6 يصير 3 موجبًا فنأخذ 1. القائمة [0,0,0,1/4,1].

نقارنها بـH(x,1/4)، التي أعطت [0,1/4,1,1,1]. تغير موضع قيمة المساواة من المدخل الخارجي 0 إلى 3، وتغير فرع المدخل 2 من موجب إلى سالب بعد طرح 3. المعامل الثاني نفسه لم يتغير.

الحساب الداخلي أهم من رؤية العدد الخارجي وحده. عند x=3، نحسب G(3)=H(0,1/4)=1/4، بينما H(3,1/4)=1. المدخل الخارجي واحد في المقارنة، لكن التعبير الذي دخل الدالة مختلف.

لحد مؤلف t، التعبير x−t سالب إذا x<t، وصفر إذا x=t، وموجب إذا x>t. لذلك صيغة نموذجنا H(x−t,z) تضع الانتقال عند t، وقيمة المساواة z. هذا استنتاج جبري من الفروع التي أعلنّاها.

نحفظ t وz والتعبير الداخلي منفصلة في سجل الحساب. اختيار t لا يقيم جودة قرار تصنيف، ولم نستعمل بيانات أو ملصقات صحيحة لاختيار حد أفضل؛ المقارنة هنا تفسر معنى الصيغتين فقط.

راجع المساواة ونطاق الحساب

في أمثلتنا تعني المساواة مساواة عددية دقيقة. نستعمل كسورًا، فيكون 3−3=0 بالضبط. لم نضع نطاقًا قرب الصفر أو سماحًا يحول مدخلًا صغيرًا غير صفر إلى الصفر، ولم نختبر تمثيل الفاصلة العائمة.

راجعنا x=n/2 للأعداد الصحيحة n من −6 إلى 6، وz=k/4 للأعداد k من −3 إلى 3، والحد t=j/2 للأعداد j من −3 إلى 3. عدد الثلاثيات 13×7×7=637. أمثلة z=3 المباشرة إضافية إلى هذه الشبكة.

لكل ثلاثية ستة فحوص: مقارنة الفروع بصيغة مؤشري الموجب والمساواة، وحصر أثر تغيير z في الصفر، ومراجعة حد الإزاحة، وهوية الانعكاس، وحفظ الفرع عند ضرب المدخل الداخلي في 3، وبقاء الخرج 0 أو 1 بعيدًا عن المساواة.

هوية الانعكاس في النموذج هي H(x−t,z)+H(t−x,z)=1 عندما x≠t، و2z عندما x=t. نفحص الحالتين منفصلتين؛ لو تجاهلنا المساواة لكانت عبارة أن المجموع يساوي 1 دائمًا غير صحيحة لكل z اخترناه.

ومع ثمانية فحوص مباشرة صارت المحصلة 637×6+8=3830، وجميعها مرت. المقارنة بين الفروع وصيغة المؤشرات مراجعة مستقلة للحساب المحدد، وليست تشغيلًا لـheaviside أو NumPy.

النطاق معاملات عددية حقيقية ممثلة بكسور دقيقة. لم نفحص البث أو مصفوفات المدخلين أو NaN واللانهاية أو الصفر ذا الإشارة أو dtype أو out وwhere أو الذاكرة والأداء. ولا نقدم تحققًا من جودة تصنيف أو تدريب؛ يبقى اختيار سياسة تطبيقية عملًا يحتاج أدلته الخاصة.