كيفية حساب حجم الهرم الثلاثي: ارتفاعان وحالة رباعي الوجوه المنتظم

الخلاصة السريعة

نحسب حجم الهرم الثلاثي من V=BH/3، حيث B مساحة قاعدته المثلثة و H ارتفاعه العمودي. إذا عرف ضلع المثلث b وارتفاعه الموافق h_b، فإن B=bh_b/2. ^[1][2]

• ارتفاع القاعدة h_b عمودي على ضلع المثلث؛ و H عمودي على مستوى القاعدة، فهما كميتان مختلفتان. ^[1][2]
• للأطوال بالسنتيمتر، مساحة القاعدة سم² والحجم سم³؛ لا نحول وحدة طول إلى مكعبها بإعادة التسمية فقط. ^[1]
• كل هرم ذي قاعدة مثلثة رباعي الوجوه، لكنه ليس بالضرورة منتظمًا. ^[3]
• في مثالنا b=6 سم و h_b=4 سم و H=9 سم: B=12 سم² و V=36 سم³.
• من حجم V ومساحة قاعدة موجبة B نستنتج الارتفاع H=3V/B.
• لرباعي وجوه منتظم حوافه الستة بطول a، الحجم V=√2a³/12. لا تكفي قاعدة متساوية الأضلاع وحدها لهذه الحالة. ^[4]

تمييز ارتفاع المثلث من ارتفاع المجسم

للمثلث قاعدة وارتفاع موافق عمودي عليها؛ مساحته نصف حاصل ضربهما. ^[2] نسميهما b و h_b حتى لا نخلط هذا الارتفاع بارتفاع الهرم H.

ارتفاع الهرم هو المسافة العمودية من القمة إلى مستوى القاعدة. ويستعمل الحجم ثلث حاصل ضرب مساحة القاعدة في هذا الارتفاع، حتى في الهرم المائل. ^[1] لا نضع طول حافة جانبية مائلة مكان H.

تؤكد مذكرات جامعة تكساس A&M علاقة الثلث، وتربط مساحة المثلث بمتجهين في قاعدته. ^[5] نستخدم هنا صيغة الأطوال المعتادة، ونترك الحساب المتجهي للتحقق من نموذج الرسم.

مثال مستقل وحساب الارتفاع بالعكس

نختار مثلث قاعدة ضلع قاعدته 6 سم، وارتفاعه داخل المستوي 4 سم. نضع قمة تبعد عموديًا 9 سم عن ذلك المستوى. الأعداد اختيارات تعليمية؛ لا نفترض انتظام المجسم.

أولًا B=6×4/2=12 سم². ثم V=12×9/3=36 سم³. الخطان الملونان في الرسم يربطان كل ارتفاع بموضعه؛ مثلث القاعدة يظهر منفصلًا لتوضيح h_b.

نعكس المثال: لو أعطيت V=36 سم³ و B=12 سم²، فإن H=3×36/12=9 سم. نتحقق بضرب 12×9 وقسمة النتيجة على 3؛ يعود الحجم 36.

القسمة العكسية تحتاج مساحة قاعدة معلومة وموجبة. إذا أعطي طول ضلع قاعدة فقط، فقد تنقص معلومات مساحة المثلث؛ حدد ما تعرفه قبل البحث عن ارتفاع المجسم.

متى تكفي معرفة طول الحافة؟

الهرم الثلاثي العام له أربعة أوجه مثلثة؛ اسم رباعي الوجوه لا يضمن أن تكون متطابقة أو متساوية الأضلاع. ^[3] أما المنتظم، فله أربعة مثلثات متساوية الأضلاع وست حواف متساوية. ^[4]

في المنتظم، مساحة الوجه √3a²/4 وارتفاع المجسم √6a/3، وينتج من ضربهما والقسمة على 3 قانون V=√2a³/12. ^[4]

نختار a=3 سم، فيكون V=27√2/12=9√2/4≈3.182 سم³. هذا مثال آخر خاص بالمنتظم، ولا نطبقه على هرم المثال الأول لمجرد أن قاعدته مثلث.

عند اختلاف الوحدات، وحّد الأطوال أولًا ثم طبق الصيغة. وإذا اخترت المتر لكل طول، يكون الحجم بالمتر المكعب؛ الأبعاد تحدد الوحدة، لا شكل الكتابة على الآلة.