مبرهنة بيتوت: مجموعا الأضلاع المتقابلة في رباعي مماسي

الخلاصة السريعة

تنص مبرهنة بيتوت على أن مجموع طولَي ضلعين متقابلين في رباعي محدب مماس لدائرة واحدة يساوي مجموع طولَي الضلعين الآخرين: AB+CD=BC+DA. [1]

• الرباعي المماسي محدب، وأضلاعه الأربعة تمس دائرة واحدة داخله. المقصود تماس الأضلاع، لا وقوع الرؤوس على محيط الدائرة. [1]
• من كل رأس تتساوى قطعتا المماس إلى الدائرة. إذا كانت نقطتا تماس من الرأس A هما E و H، نجد AE²=AI²−r²=AH²؛ فنأخذ الطولين الموجبين.
• في مثالنا، أطوال القطع الخارجة من A و B هي 9، ومن C و D هي 4. لذلك AB=18 و BC=13 و CD=8 و DA=13؛ مجموعا الضلعين المتقابلين 26.
• إذا عرفت AB=18 و BC=13 و CD=8 في هذا الرباعي، فإن DA=18+8−13=13. نجمع الضلعين في الطرف الآخر من المساواة، ثم نطرح طول الضلع المقابل له. نصف المحيط s=26، والمحيط 52.
• مستطيل أبعاده 18 و 12 يعطي AB+CD=36 و BC+DA=24، فلا تقبل أضلاعه الأربعة دائرة مماسة واحدة. دائرة نصف قطرها 6 داخله تمس ضلعين فقط.
• مساحة شبه المنحرف 156 وحدة مربعة. تقسيمه إلى أربعة مثلثات من المركز يعطي 54 و 39 و 24 و 39، ومجموعها 156=6×26. العلاقة بين مجموعي الأضلاع تخص أطوالًا، لا مربعاتها.

حدد دائرة واحدة وأربع نقاط تماس

يسمى الرباعي مماسيًا عندما يكون محدبًا وتكون أضلاعه الأربعة مماسة لدائرة واحدة داخله. أما الرباعي الدائري فتقع رؤوسه على دائرة؛ وصف مختلف عن تماس الأضلاع. هنا نستعمل الدائرة الداخلية فقط. [1]

سمِّ نقاط التماس E على AB، و F على BC، و G على CD، و H على DA. كل نقطة منها تقع على الضلع نفسه بين طرفيه. الخطان من المركز I إلى E وإلى F مثلًا نصفا قطر، لا ضلعان من حدود الرباعي.

وجود دائرة مرسومة داخل الشكل لا يثبت التماس بكل أضلاعه. يجب أن يكون البعد العمودي من مركزها إلى كل خط ضلع مساويًا لنصف القطر، وأن تقع نقطة القدم على الضلع. سنراجع الشرطين بالإحداثيات في النموذج المختار.

لماذا تتساوى قطعتا المماس من رأس واحد؟

خذ الرأس A ونقطتي التماس E و H. نصفا القطر IE و IH عموديان على AE و AH، وطول كل منهما r. في المثلثين القائمين، القطعة AI هي الوتر المشترك. بتطبيق فيثاغورس نجد AE²=AI²−r² و AH²=AI²−r².

إذن AE²=AH²، ولأن الطولين غير سالبين فهما متساويان. في رباعي غير منعدم تقع الرؤوس خارج الدائرة وتكون هذه القطع موجبة. ينطبق الحساب نفسه على الرؤوس B و C و D؛ كل مقارنة تخص قطعتين من الرأس نفسه إلى الدائرة نفسها.

اقرأ AB بوصفه AE+EB، و CD بوصفه CG+GD. أما BC فهو BF+FC، و DA فهو DH+HA. باستبدال EB بـ BF، و CG بـ CF، و GD بـ DH، و AE بـ AH، نجمع الأطوال نفسها مرة في كل طرف، فتنتج AB+CD=BC+DA.

لا تعني هذه المساواة أن AB=CD أو أن BC=DA. إنها مساواة بين مجموعين، ويمكن أن يختلف الضلعان داخل كل مجموع. كما لا تعني تساوي مجموع ضلعين متجاورين مع مجموع الضلعين الباقيين.

فحص أصلي لشبه المنحرف بالإحداثيات

في A=(−9,0)، B=(9,0)، C=(4,12)، D=(−4,12)، القاعدتان AB و CD أفقيتان وطولاهما 18 و 8. الفرق من B إلى C هو (−5,12)، فيكون BC²=25+144=169، ومنه BC=13. وبالتناظر حول المحور الرأسي DA=13.

الدائرة مركزها I=(0,6) ونصف قطرها 6. خطا القاعدتين هما y=0 و y=12، والبعد العمودي من I إلى كل منهما 6. نقطتا التماس هما E=(0,0) و G=(0,12)، وكلتاهما تقع داخل ضلعها.

خط الضلع BC هو 12x+5y=108. إذا عوضنا I، نحصل على 30، والفرق عن 108 هو 78. طول المتجه العمودي (12,5) هو 13، ولذلك البعد عن الخط 78/13=6. قدم العمود هي F=(72/13,108/13).

يمكن مراجعة F من اتجاه الضلع: المتجه BF=(−45/13,108/13)، وهو 9/13 من المتجه BC=(−5,12). النسبة بين صفر وواحد، فالنقطة على القطعة BC. ونصف القطر IF=(72/13,30/13) عمودي عليها؛ حاصل الضرب القياسي يساوي صفرًا.

بالتناظر نجد H=(−72/13,108/13) على DA. الأطوال AE و BE و BF و AH تساوي 9، بينما CF و CG و DG و DH تساوي 4. الجدول يوضح كيف يتكون كل ضلع من قطعتين، ومنه 18+8=13+13=26.

اجمع ضلعًا مع مقابله لإيجاد المجهول

لو أعطتك مسألة الرباعي المماسي AB=18 و BC=13 و CD=8، وطلبت DA، ابدأ AB+CD=BC+DA. بعد التعويض 18+8=13+DA، فيكون DA=13. نطرح BC، وهو مقابل DA، من مجموع AB و CD.

جمع 18 مع 13 يعطي 31، وجمع 8 مع 13 يعطي 21؛ هما مجموعا ضلعين متجاورين. اختلافهما لا يناقض بيتوت. كذلك لا نقارن 18²+8² مع 13²+13²؛ الأول 388 والثاني 338، لأن المبرهنة لا تتحدث عن مربعات الأطوال.

المحيط P=18+13+8+13=52، ونصفه s=26. في الرباعي المماسي يساوي كل مجموع من مجموعي الأضلاع المتقابلة نصف المحيط. لذلك يمكن أيضًا إيجاد DA من s−BC=26−13=13.

العكس صحيح للرباعي المحدب غير المنعدم: تساوي مجموعي طولَي الضلعين المتقابلين يضمن وجود دائرة داخلية تمس الأضلاع الأربعة. [1] هذا يثبت وجود دائرة مناسبة؛ لا يثبت أن أي دائرة ترسمها داخل الرباعي هي تلك الدائرة.

دائرة داخل مستطيل قد تمس ضلعين فقط

نبدل الرؤوس العلوية إلى C=(9,12) و D=(−9,12)، مع بقاء A=(−9,0) و B=(9,0). الشكل الجديد مستطيل 18 في 12. مجموع القاعدتين 36، ومجموع الضلعين الرأسيين 24، فتفشل مساواة بيتوت.

اترك الدائرة نفسها I=(0,6)، r=6. إنها تمس القاعدتين عند E و G، لكن بعدها عن كل خط من الخطين الرأسيين x=9 و x=−9 يساوي 9. توجد فجوة 3 بين أقصى نقطة للدائرة يمينًا وبين الضلع الأيمن، ومثلها يسارًا.

هل يمكن تحريك الدائرة أو تغيير نصف قطرها لتلامس الأضلاع الأربعة؟ تماس الخطين y=0 و y=12 من الداخل يفرض نصف قطر 6 ومركزًا ارتفاعه 6. وتماس الخطين x=−9 و x=9 من الداخل يفرض نصف قطر 9 ومركزًا إحداثيه الأفقي صفر. لا يجتمع الشرطان.

الرسم الداخلي يبين الدائرة نفسها في الشكلين، بمقياس واحد. في المستطيل نسمي أقدام العمود على الضلعين الرأسيين F و H أيضًا، لكنهما ليستا نقطتي تماس؛ بعدهما عن I هو 9 لا 6. لا نضع عليهما علامتي تماس توحيان بأن الشرط متحقق.

افصل بين الأطوال والمساحة والتكبير

لمساواة بيتوت وحدة طول. إذا كانت الإحداثيات بالسنتيمتر، فكل مجموع يساوي 26 سم. مساحة شبه المنحرف كمية أخرى: نصف مجموع القاعدتين في الارتفاع، أي K=(18+8)×12/2=156 سم². لا نستخرج 156 بمجرد جمع أربعة أطوال.

يمكن مراجعة المساحة من المركز I: صل المركز بالرؤوس، فتحصل على أربعة مثلثات قواعدها أضلاع الرباعي، وارتفاع كل منها 6 بسبب التماس. المساحات هي 18×6/2=54، و 13×6/2=39، و 8×6/2=24، و 13×6/2=39.

مجموع 54+39+24+39=156 يوافق حساب شبه المنحرف. عمومًا، في رباعي مماسي نصف قطره r ونصف محيطه s، يعطي جمع مساحات المثلثات K=rP/2=rs. هذا الحساب يعتمد على تساوي الارتفاعات الأربعة، فلا نستخدمه لدائرة لا تمس كل الأضلاع.

مثلًا، في المستطيل السابق المساحة 18×12=216، لكن حاصل 6×30=180 لا يساويها، لأن الارتفاعين إلى الضلعين الرأسيين 9. نصف محيطه 30؛ الرقم وحده لا يحقق شرط استعمال نصف قطر واحد ارتفاعًا لكل مثلث.

عند تكبير نموذج شبه المنحرف بعامل 2، تصبح الأضلاع 36 و 26 و 16 و 26، ونصف القطر 12، ونصف المحيط 52. يبقى 36+16=26+26=52، بينما المساحة 624، أي أربعة أمثال 156، وتوافق 12×52. راجع وحدتك وشرط التماس وترتيب الأضلاع قبل التعويض.