مركز الدائرة بركن قائم: ضع الرأس على المحيط واختر قطرين مختلفين

ضع رأس الركن على المحيط

استعمل ركنًا قائمًا، مثل ركن ورقة مستقيم غير مشوه. ضع الرأس على الدائرة ووجّه الضلعين إلى داخلها، ثم علّم موضع التقاطع الآخر لكل ضلع مع المحيط. صل العلامتين. [1]

نفترض أن الطرفين المحددين مختلفان، وأن كليهما يختلف عن رأس الركن. إذا لامس أحد الضلعين المحيط عند الرأس وحده فلا نحصل على المثلث المطلوب؛ أعد توجيه الركن قبل الوصل.

نختار دائرة (س−2)²+(ص+1)²=25. رأس الركن الأول ق=(5،3) عليها لأن 3²+4²=25. من ق نتجه أفقيًا إلى اليسار وعموديًا إلى الأسفل؛ التقاطعان الآخران هما أ=(−1،3) وب=(5،−5).

أ تبعد عن و=(2،−1) بمربع 9+16=25، وب كذلك. المتجه ق أ=(−6،0)، وق ب=(0،−8)؛ ضربهما الداخلي صفر. نستخدم هذه الإحداثيات للمراجعة، ولا نفترض أن المركز معروف لمن ينفذ الإنشاء.

الوصل المقابل للزاوية القائمة قطر

عكس مبرهنة طاليس يقول إن الضلع المقابل لزاوية قائمة في مثلث رؤوسه على الدائرة قطر فيها. [2]

في المثال أ ب=(6،−8)، فطوله √(36+64)=10 سم. منتصف أ وب هو ((−1+5)/2،(3−5)/2)=(2،−1)، وهو و. معادلة المستقيم أ ب هي 4س+3ص=5؛ التعويض في الطرفين يعطي 5، وكذلك التعويض في و.

لا نصل رأس الركن بواحدة من العلامتين ونسمي القطعة قطرًا. القطعتان ق أ وق ب طولهما 6 و8، أما القطر الناتج فهو الوصل أ ب، المقابل لرأس الزاوية. صورته من ضلعَي الركن لا تعني أنه أحدهما.

أنشئ قطرًا آخر ثم حل التقاطع

مركز الدائرة هو منتصف قطرها. [3]

نختار الرأس الثاني ر=(2،−6)، على أسفل الدائرة. اتجاه الضلع الأول ع=(3/5،4/5)، والثاني ت=(−4/5،3/5). مربعا طولهما 1 وضربهما الداخلي صفر؛ نوجههما من ر إلى داخل الدائرة.

النقطة ج=ر+8ع=(6.8،0.4)، ود=ر+6ت=(−2.8،−2.4). عن و، إزاحتاهما (4.8،1.4) و(−4.8،−1.4)؛ مربع كل طول 23.04+1.96=25. إذن النقطتان على المحيط وعلى جهتين متقابلتين من و.

المتجه ر ج=(4.8،6.4)، ور د=(−4.8،3.6)، وضربهما −23.04+23.04=0. منتصف ج ود هو (2،−1)، وطول ج د=√(9.6²+2.8²)=√100=10 سم. معادلته −7س+24ص=−38، وتحققها ج ود وو.

القطران مختلفان: محدد معاملي المعادلتين 117، لا صفر. نضرب 4س+3ص=5 في 8 لنحصل على 32س+24ص=40، ونطرح المعادلة الثانية فنجد 39س=78؛ س=2. ثم 8+3ص=5 يعطي ص=−1. حددنا المركز من تقاطع الخطين.

الركن الداخلي والقطر المكرر

نضع خطأً رأسًا قائمًا داخل الدائرة عند ك=(2،1)، ونحافظ على ضلع أفقي إلى اليسار وآخر رأسي إلى الأسفل. نقطة ك تبعد 2 سم عن و، فلا تقع على محيط نصف قطره 5.

على الخط ص=1، تعطي معادلة الدائرة (س−2)²+4=25؛ نقطة اليسار هـ=(2−√21،1). على الخط س=2، نقطة الأسفل ط=(2،−6). زاوية هـ ك ط قائمة، لكن ك ليست نقطة على الدائرة.

منتصف هـ وط هو (2−√21/2،−2.5)، لا (2،−1). كما أن المتجه ط هـ=(−√21،7) لا يوازي ط و=(0،5)، لأن حاصل المحدد −5√21 لا يساوي صفرًا. لا يمر الخط هـ ط بالمركز، فيكون وترًا غير قطري رغم وجود الزاوية القائمة الداخلية.

في خطأ آخر نعيد الموضع الأول ق والاتجاهين نفسيهما؛ تعود العلامتان أ وب، ومعهما المعادلة 4س+3ص=5. تكرار الخط نفسه لا يحدد تقاطعًا وحيدًا. غيّر موضع الركن واتجاهه ثم تحقق أن الناتج قطر مختلف؛ نقل الرأس وحده لا يضمن اختلاف القطر في كل اختيار.

الصور تعرض المثال الصحيح، ثم الرأس الداخلي والقطر المكرر بالمقياس نفسه. ثبات 90° ووقوع العلامات على الدائرة جزء من الشروط؛ المخطط لا يقيس دقة ركن ورقة حقيقي. لا تعمم النتيجة على شكل بيضاوي لمجرد استدارته، ولا تستخدم نقاطًا متطابقة أو ضلعًا مماسيًا بدل مثلث محيطي غير منحل.