مساحة المثلث متساوي الأضلاع: القانون والارتفاع وأمثلة

كيف يظهر الجذر في القانون؟

اختر أي ضلع قاعدةً، ثم ارسم من الرأس المقابل عمودًا عليها. في هذا المثلث يقسم العمود القاعدة إلى جزأين متساويين، فيكون طول أحدهما a/2. داخل أحد المثلثين القائمين يكون الضلع a وترًا؛ لذا يعطينا فيثاغورس h² = a² − (a/2)² = 3a²/4.

نأخذ الجذر الموجب لأن h طول، فنحصل على h = √3 a / 2. بالتعويض في القانون العام A = ah/2 ينتج القانون الخاص. هذه الخطوات تفسر وجود الجذر ومعامل الربع، وتساعد على استعادة الصيغة بدل حفظ رموز منفصلة. ^[2]

الحساب من الضلع أو المحيط

لنأخذ ضلعًا طوله 8.4 سم. مربعه 8.4² = 70.56، ومنه A = 17.64√3 سم²، أي نحو 30.55 سم². قيمة الجذر الدقيقة مناسبة للحل الرمزي، والقيمة العشرية تقريب مناسب حين نحتاج رقمًا عمليًا.

إذا أعطت المسألة محيطًا قدره 15.6 سم، نقسمه على 3 أولًا: a = 15.6/3 = 5.2 سم. ثم A = √3 × 5.2² / 4 = 6.76√3 سم²، أي نحو 11.71 سم². تربيع المحيط مباشرة مكان الضلع يعطي نتيجة خاطئة.

وإذا كانت المساحة 16√3 سم²، تصبح a² = 4 × 16√3 / √3 = 64. إذن a يساوي 8 سم؛ نستبعد الجذر السالب لأنه لا يمثل طولًا.

ما أثر تكبير طول الضلع؟

إذا صار الضلع ثلاثة أمثال طوله الأصلي، فإن المساحة تصبح تسعة أمثالها، لأن A₂/A₁ = (3a)²/a² = 9. أما المحيط فيصبح ثلاثة أمثاله فقط. يمكن رؤية الفرق في الرسم: الارتفاع والقاعدة يكبران معًا، ولذلك تتغير مساحة السطح بمربع معامل التكبير.

افحص المعطيات قبل التعويض

• تأكد من تساوي الأضلاع؛ الصيغة الخاصة لا تصلح لكل مثلث.
• وحّد وحدات الطول قبل إجراء الحساب، ثم اكتب وحدة مربعة للمساحة.
• الارتفاع ليس ضلعًا مائلًا، بل مسافة عمودية إلى القاعدة.

على سبيل المثال، ضلع طوله 10 سم يستلزم ارتفاعًا 5√3 سم، أي نحو 8.66 سم. إذا أعطيت المسألة ارتفاعًا 7 سم مع الضلع نفسه، فلا يصح اعتماد المعطيين لمثلث متساوي الأضلاع. يمكن حساب نصف حاصل ضربهما لمثلث آخر، لكن ذلك لا يحل التناقض في الوصف.