مشتقة الدالة العكسية: لماذا نرجع إلى القيمة الأصلية؟

مشتقة الدالة العكسية تُحسب عند القيمة التي تعيدها الدالة العكسية. [1][2]

الخلاصة السريعة

نأخذ مقلوب المشتقة عند المدخل الأصلي. [1][2]

• مثال مؤلف في الأعداد الحقيقية: f(x)=x³+x. مشتقتها f′(x)=3x²+1 موجبة؛ والدالة مستمرة ومتزايدة من −∞ إلى +∞، فلها عكس وحيد g على الأعداد الحقيقية. [1]
• نطلب g′(2). أولًا نحل f(x)=2: نجد f(1)=2، إذن g(2)=1. لا نحتاج صيغة صريحة لـg، والعكس g ليس المقلوب 1/f. [1]
• التركيب f(g(y))=y. بعد تحقق قابلية العكس للاشتقاق، تعطي قاعدة السلسلة f′(g(y))g′(y)=1. المشتقة الخارجية تقيم عند g(y). [2]
• عند y=2 نرجع إلى x=1: المشتقة f′(1)=4، ومنها g′(2)=1/4. المدخل 2 للعكس يقابله المدخل 1 للأصل. [1][2]
• التعويض الخاطئ بالمخرج نفسه يعطي f′(2)=13 ثم 1/13. هذه مشتقة الأصل عند مدخل آخر؛ لا تعطي مشتقة العكس عند 2. [2]
• للدالة القابلة للعكس على فترة، والقابلة للاشتقاق فيها بمشتقة مستمرة، تصح g′(y)=1/f′(g(y)) حيث f′(g(y))≠0. في مثالنا المقام موجب دائمًا؛ إذا انعدم، لا نستخدم القسمة. [1]

المراجع

1. مشتقة الدالة العكسية
2. قاعدة السلسلة

عكس الأسية واللوغاريتمية

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.