معيار الأعداد المركبة: حدود الجمع ومتى تتحقق المساواة

المعيار مقدار حقيقي وليس العدد المركب نفسه

معيار العدد المركب z=a+bi هو |z|=√(a²+b²)، وهو بعد النقطة(a,b) عن الأصل في المستوى المركب. نستخدم المعيار هنا مقدارًا حقيقيًا غير سالب؛ لذلك المقارنات بين المعايير تقارن مقادير، ولا تجعل العدد المركب نفسه مجرد رقم حقيقي مساويًا لمعياره. ^[1]

نختار للتدريب z=5+12i و w=−12+5i. معيار الأول √(25+144)=13، ومعيار الثاني √(144+25)=13 أيضًا. العددان مختلفان لأن جزأيهما الحقيقي والتخيلي مختلفان، رغم اتفاق المعيارين. إذا كانت المعلومة الوحيدة هي أن معيار عدد ما 13، فهي لا تختار لنا نقطة واحدة بعينها على المستوى.

ولا نقصد بالمعيار هنا جمع الجزأين أو جمع قيمتيهما المطلقتين. في z يكون 5+12=17، بينما المعيار 13. الأول يخص عملية أخرى على العددين الحقيقيين اللذين يمثلان المركبتين. يمكن فحص 13 بتربيعه فنحصل على 169، وهو مجموع المربعين، لا مربع مجموع الجزأين الذي يساوي 289.

كل الأعداد والرسوم في هذا الدرس اختيارات رياضية للشرح، ولا تمثل حركة جسم أو قياسات ميدانية. سنبقي z و w نفسيهما في بعض المقارنات، ونغير w بوضوح في مقارنات أخرى. تسمية المدخلين مع كل نتيجة تمنع خلط حالة متجهين متعامدين بحالة اتجاه واحد لمجرد أن بعض المعايير متساوية.

احسب معيار المجموع ولا تجمع المعيارين بدلًا منه

نجمع العددين المختارين أولًا: z+w=(5−12)+(12+5)i=−7+17i. معيار المجموع هو √(49+289)=√338، أي نحو 18.385. أما مجموع المعيارين فهو 13+13=26. لذلك لا تصلح المساواة |z+w|=|z|+|w| في هذا المثال، مع أن كل عملية من العمليتين أعطت مقدارًا حقيقيًا غير سالب.

يمكن مراجعة الجمع من مركبتين: الحقيقي−7، والتخيلي 17. ثم نراجع الجذر من مربعي هاتين القيمتين. إذا حصل حل على 26 من دون إظهار−7 و 17، فاسأل هل حسب مجموع الطولين بدل طول المحصلة. وإذا حصل على 24 من جمع قيمة 5 و 12 إلى أعداد أخرى، فارجع إلى تعريف المعيار قبل مراجعة الآلة الحاسبة.

متباينة المثلث تضع حدًا أعلى صحيحًا: |z+w|≤|z|+|w|. في أعدادنا، √338≤26. وجود حد أعلى لا يخبرنا أن القيمة الفعلية هي 26، ولا يختار كل منازل 18.385. إذا كان السؤال يطلب المعيار نفسه وتعرف المركبتين، فاحسبه؛ وإذا طلب فحصًا أو حدًا، فاستخدم الحد وفق ذلك المطلوب.

والعلامة≤ مهمة؛ فهناك حالات تتحقق فيها المساواة سنحسبها بعد قليل. لا نستبدلها بعلامة< في قاعدة عامة لأن مثالنا الأول أعطى مقدارًا أصغر. المثال يثبت أن المساواة ليست عامة، لكنه لا يثبت أن عدم المساواة الصارمة يحدث في جميع المدخلات الممكنة.

اقرأ المثلث الذي يمثله الجمع

في الرسم الأصلي نبدأ من O عند الأصل، ونصل إلى A عند(5,12)، ثم ننقل متجه w من A لينتهي عند B=(-7,17). القطعة OA طولها 13، والقطعة AB طولها 13، والقطعة OB طولها√338. نقطة النهاية B تمثل z+w، ولا يتغير w في النقل؛ التغير بين A و B هو−12 أفقيًا وخمسة رأسيًا.

الطريق الذي يتبع OA ثم AB طوله 26، أما القطعة المباشرة OB فطولها نحو 18.385. هذه ثلاثة أطوال لأشياء محددة في الرسم، وليست ثلاث إجابات للسؤال نفسه. بهذا المعنى يصبح الحد الأعلى مفهومًا: الجمع الهندسي للمركبتين لا يفرض أن المحصلة تتبع طول المسار ذي القطعتين.

وقد اختير في المثال متجهان متعامدان؛ فالجداء العددي للمركبتين 5×(−12)+12×5=0. لذلك نستطيع فحص طول المحصلة أيضًا من 13²+13²=338. هذا فحص إضافي لأعدادنا، ولا نستخدم قانون ضلعين قائمين إذا أعطانا سؤال آخر اتجاهين لا يشكلان زاوية قائمة.

لا نقيس الخطوط بالمسطرة على صورة أعيد تحجيمها كي نثبت النتيجة العددية. الرسم مولد من الإحداثيات وبمقياس متساوٍ للمحورين، والبيانات والحساب هما المرجع. كما أنه لا يصف رحلة فعلية احتاج فيها شخص إلى المرور بالنقطة A؛ إنه تفسير هندسي لعملية على عددين مركبين اخترناهما.

متى يصل المجموع إلى الحد الأعلى؟

نغير المدخل الثاني ونضع u=2z=10+24i. معياره 26، والمجموع z+u=15+36i=3z ومعياره 39. حصلنا على 13+26=39، أي إن معيار المجموع يساوي مجموع المعيارين هنا. المتجهان في الاتجاه نفسه، والثاني مضاعف حقيقي موجب للأول، فلا يضيف الانتقال بينهما انعطافًا في المسار الهندسي.

إذا كان z و u غير صفريين، فإن شرط اتجاه واحد يعني u=t×z حيث t عدد حقيقي موجب. ليس مجرد اشتراكهما في خط واحد كافيًا؛ يمكن أن يكونا في اتجاهين متعاكسين على الخط نفسه. سنرى أن اختيار t سالب يعطي نتيجة مختلفة، رغم بقاء الرسم محصورًا على خط واحد.

وإذا كان أحد العددين صفرًا، تتحقق المساواة أيضًا: |z+0|=|z|=|z|+0. لا نطلب من المتجه الصفري اتجاهًا نحدد به الحالة؛ المساواة تعود مباشرة إلى الجمع وتعريف معيار الصفر. احتفظ بهذه الحالة عندما تلخص شرط التساوي، بدل استبعادها من دون قصد بسبب عبارة «الاتجاه نفسه».

في التمرين يمكنك فحص كون أحد المدخلين مضاعفًا موجبًا للآخر من المركبتين عندما تسمح الأعداد بذلك. في أعدادنا 10/5=2 و 24/12=2. لكن لا تقسم على مركبة صفرية لتختبر هذا الوصف؛ استخدم العلاقة u=t×z نفسها أو فحص المركبات المناسب بدل قسمة لا تكون معرفة.

برهان الحد الأعلى يوضح شرط التساوي

نكتب مدخلين عامين z=a+bi و u=c+di، ونوسع مربع معيار المجموع. ينتج |z+u|²=|z|²+|u|²+2(ac+bd). الحد ac+bd يصف علاقة المركبتين في هذه الكتابة. لا يجوز حذفه من التوسيع؛ في مثالين متعامدين يكون صفرًا، وفي اتجاهين متوافقين أو متعاكسين قد يكون موجبًا أو سالبًا.

من الهوية الجبرية (a²+b²)(c²+d²)−(ac+bd)²=(ad−bc)²، يكون الطرف الأخير غير سالب. لذلك |ac+bd|≤|z||u|، وبخاصة ac+bd≤|z||u|. نعوض هذا الحد في التوسيع السابق فنحصل على |z+u|²≤(|z|+|u|)². وبما أن المقدارين غير سالبين، نأخذ الجذر فنحصل على الحد المطلوب.

وللتساوي مع مدخلين غير صفريين يلزم أن يكون ad−bc=0 وأن يكون ac+bd غير سالب. الشرط الأول يدل على الوقوع على خط واحد، والثاني يختار توافق الاتجاهين بدل تعاكسهما. في z و 2z يتحقق الوصف، وفي z و−2z يبقى الخط واحدًا لكن الجداء العددي سالب، فلا يصل المجموع إلى الحد الأعلى.

هذا برهان تعليمي جبري، وليس ادعاءً بأن المتباينة اكتشاف جديد. يبين لماذا عادت الأعداد في المثالين إلى نتيجتين مختلفتين، ولماذا لا تكفي قراءة شكل قريب من خط مستقيم في رسم غير مضبوط. نستعمل البيانات والهوية والشرط معًا، ونراجع المتجه الصفري بحسابه المستقل عندما يدخل في السؤال.

الاتجاه المعاكس والحد الأدنى

نغير المدخل الثاني إلى v=−2z=−10−24i. معياره 26، لكن z+v=−5−12i=−z، ومعياره 13. مجموع المعيارين 39، بينما فرق المعيارين المطلق|26−13|=13. هذه المرة وصل المجموع إلى الحد الأدنى، لأن جزءًا من الاتجاهين المتعاكسين ألغى جزءًا من الآخر في عملية الجمع.

الحد الأدنى العام هو ||z|−|v||≤|z+v|. لا نترك الفرق |z|−|v| سالبًا في الحد النهائي؛ نتعامل مع فرق المقدارين المطلق. وبالجمع بين الحدين يقع معيار المجموع بين الفرق المطلق ومجموع المعيارين. في هذه الحالة يقع بين 13 و 39، وقيمته الفعلية 13.

يمكن استنتاج الحد الأدنى من الحد الأعلى نفسه. نكتب z=(z+v)−v، فنجد |z|≤|z+v|+|v|، ومنه |z|−|v|≤|z+v|. وبتبديل الدورين نحصل على الفرق الآخر، فتظهر القيمة المطلقة للفرق في النتيجة. لا نحتاج إلى فرض أن أحد المعيارين أكبر من الآخر كي نكتب القاعدة النهائية.

وإذا وضعنا v=−z، صار المجموع صفرًا والمعياران متساويين، فتساوى الحد الأدنى مع الصفر أيضًا. لا يدل ذلك على أن z نفسه صفر؛ قد يكون متجهًا غير صفري ألغاه معكوسه الجمعي. المصدر الذي تقرأ منه قيمة صفر في سؤال يجب تحديده: صفر المدخل أم صفر المجموع أم صفر فرق المعيارين.

فرق المعيارين ليس المسافة بين العددين

نعود إلى المدخلين z=5+12i و w=−12+5i، ومعيار كل منهما 13. الفرق بين المعيارين صفر، لكن z−w=17+7i ومعياره√338، أي نحو 18.385. المسافة بين النقطتين ليست صفرًا؛ الذي تساوى هو بعد كل واحدة منهما عن الأصل. هذا مثال يمنع استبدال |z−w| بفرق المعيارين عمومًا.

إذا تغير مركز المسافة التي تسأل عنها، تغير التعبير. معيار z يقيس المسافة عن الأصل، ومعيار z−w يقيس المسافة بين نقطتي z و w في هذه الكتابة. أما ||z|−|w|| فيقارن رقمي مسافتين عن الأصل. الكلمات «عن الأصل» و«بين النقطتين» ليست شرحًا زائدًا؛ إنها تحدد الكمية المطلوبة.

يمكن استعمال الفرق المطلق للمعيارين حدًا أدنى للمسافة |z−w| بتطبيق قاعدة المجموع على z و−w. في مثالنا الحد صفر، لكنه حد ضعيف لا يعطي المسافة الدقيقة. وجود حد صحيح لا يعني أنه ضيق أو مفيد وحده لاختيار قيمة واحدة؛ ينبغي بيان ما تستطيع استنتاجه منه فعلًا.

ولا نعالج هذا المثال بتغيير إحدى النقطتين حتى تتطابقا. المطلوب فهم الفرق بين ثلاثة تعابير صحيحة. إذا أبلغت حلًا عن صفر بوصفه المسافة، فارجع إلى ما حسبه: ربما حسب فرق المعيارين بصورة صحيحة، لكنه قدمه جوابًا لسؤال عن المسافة بين العددين المختلفين.

الضرب والقسمة لهما علاقة دقيقة مختلفة

يتحقق |zu|=|z||u| للأعداد المركبة، ويتحقق |z/u|=|z|/|u| عندما يكون المقسوم عليه غير صفري. لذلك لا ننقل قاعدة المعيار في الضرب إلى الجمع: الأولى مساواة، أما الجمع فيحتاج حدودًا وشروطًا للمساواة كما أوضحنا. ^[1]

في المدخلين الأولين حاصل الضرب z×w=−120−119i، ومعياره√(14400+14161)=169. وهو يوافق 13×13=169. أما معيار المجموع بينهما فكان√338، لا 169 ولا 26. احتفظ برمز العملية إلى جانب كل عدد في ورقة المقارنة حتى لا تجعل جواب الضرب جوابًا للجمع.

وللقسمة z/w=−i في هذا الاختيار، ويمكن فحصه بضرب−i في w فنحصل على z. معيار−i واحد، ويوافق 13/13=1. المقسوم عليه w غير صفري، ولذلك دخلت القسمة في القاعدة. وإذا وضع سؤال المقسوم عليه صفرًا، فالتعبير غير معرف ولا نعطيه معيارًا صفرًا باعتباره امتدادًا للحالة السابقة.

يمكن مراجعة مربع z كذلك: z²=−119+120i ومعياره 169، بينما |z|²=169. هنا اتفق معيار المربع مع مربع المعيار، لكن العدد z² نفسه ليس العدد الحقيقي 169. لا تحذف الرمزين المحيطين بالمربع ثم تحتفظ بالجواب؛ الفرق بين العدد ومعياره ظل قائمًا في عملية القوة أيضًا.

المرافق والعكس: لا تخلط الشرط بنتيجته

مرافق z في المثال هو 5−12i. مجموعهما 10، وحاصل ضربهما 169؛ كلاهما حقيقي. يتساوى معيار العدد مع معيار مرافقه لأن إشارة الجزء التخيلي تغيرت وبقي مجموع مربعي المركبتين 169. هذه خصائص يمكن فحصها مباشرة في الأعداد، ولا تعني أن كل عددين لهما مجموع وضرب حقيقيان مرافقان بالضرورة.

المثال المضاد البسيط هو العددان الحقيقيان 1 و 2. مجموعهما 3 وضربهما 2، وكلاهما حقيقي، لكن مرافق 1 هو 1 لا 2. لذلك يفشل العكس إذا لم نضف شرطًا مناسبًا. لا ننسب معنى جديدًا إلى المرافق كي نحافظ على قول عام؛ نختبر القول على حالة من المجال الذي يدعي شموله.

ولفهم الشرط، نكتب z=a+bi و u=c+di مع b غير صفر. إذا كان المجموع حقيقيًا، فـ d=−b. وإذا كان الضرب حقيقيًا، فإن جزأه التخيلي ad+bc=0، أي b(c−a)=0. وبما أن b غير صفر، يكون c=a، فيصبح u=a−bi، وهو المرافق. افتراض الجزء التخيلي غير الصفري هو ما أتاح هذه الخطوة.

أما عندما b=0 ومع المجموع الحقيقي يكون d=0 أيضًا، فنحصل على عددين حقيقيين ولا تجبر المعادلة c على مساواة a. لهذا نجح المثال المضاد 1 و 2. هذه مراجعة تعكس الفرق بين خاصية صحيحة للمرافقين وبين عكس يحتاج شرطًا؛ كلمة «إذا» واتجاه الاستنتاج جزء من معنى القاعدة.

استخدم الحدود لفحص نتيجة من دون اختلاق اتجاه

إذا أعطاك السؤال معيارين 13 و 26 من دون المركبات أو الاتجاهين، تستطيع القول إن معيار المجموع بين 13 و 39. لا تستطيع اختيار 13 أو 39 أو عدد متوسط بعينه من هذه المعلومة وحدها. رأينا حالتين بلغتا الطرفين، ويمكن أن توجد اتجاهات أخرى تعطي قيمًا داخل المجال.

قد يساعد هذا المجال في كشف خطأ ظاهر. لو أعطى حل معيارًا 45 أو مقدارًا سالبًا، فهو لا يوافق الحدين في هذا السؤال. لكن عددًا داخل المجال لا يصبح جوابًا صحيحًا تلقائيًا؛ ما زلنا نحتاج إلى المعطيات التي تحدد المجموع أو علاقات إضافية. الفحص يرفض بعض الأخطاء ولا يثبت جميع التفاصيل.

يمكن بناء حالة وسطية صريحة للمعيارين نفسيهما من دون تخمين. أبق z=5+12i، واختر المدخل الثاني h=2i×z=−24+10i. معياره26، وهو متعامد مع z؛ إذ إن 5×(−24)+12×10=0. يكون المجموع−19+22i، ومربع معياره361+484=845. إذن معياره√845، أي نحو29.069، بين13 و39. لدينا الآن ثلاثة مدخلات ثانية لها المعيار26: المضاعف الموجب2z أعطى39، والمضاعف السالب−2z أعطى13، والمضاعف2i×z أعطى√845. اختلاف النتائج لا يناقض اتفاق طول المدخل الثاني؛ إنه يكشف المعلومة التي لم يقدمها الطول وحده. ويمكن مراجعة الحالة الوسطية من13²+26²=845 بسبب التعامد، مع إبقاء هذا الشرط ظاهرًا في الحساب. لا تستخدم هذه العلاقة في المدخلين الموازيين؛ فهما يشتركان في المعيارين نفسيهما ولكن لا يشتركان في زاوية الحالة الوسطية.

إذا احتفظت بتقريب عشري مثل 18.385 لـ√338، اكتب علامة التقريب ولا تجعل تربيعه يعيد 338 بالضبط في كل منزلة. الجذر هو القيمة الدقيقة في المثال، والعدد العشري عرض مختصر. عند مقارنات دقيقة جدًا يمكن إبقاء الجذور أو العمل بالمربعات غير السالبة قبل التقريب.

وحدد أن علامات المقارنة في هذا الدرس تقع بين مقادير حقيقية غير سالبة. لا نقول إن z أصغر من w لمجرد أن |z| أصغر من |w|؛ نقول إن معياره أصغر. تسمية ما قارنته تمنع نقل نتيجة صحيحة عن مسافة إلى ادعاء مختلف عن العدد المركب ذاته.

تمرين مستقل وخطة المراجعة

نختار عددين جديدين p=8+6i و q=−3+4i. معيارهما 10 و 5. المجموع 5+10i ومعياره√125، أي نحو 11.180، ويقع بين 5 و 15. الجداء العددي 8×(−3)+6×4=0، فيعيد فحص المثلث القائم 10²+5²=125. اختلاف القيم لا يغير طريقة قراءة الحدود.

حاصل الضرب في التمرين نفسه−48+14i ومعياره 50، فيوافق 10×5. والقسمة p/q=−2i ومعيارها 2، فيوافق 10/5. ثم اختر عددًا آخر u=3p؛ يكون معيار المجموع p+u هو 4×10=40، مساويًا 10+30. اذكر أنك غيرت المدخل الثاني بدل جمع نتائج الحالات المختلفة في جدول واحد بلا أسماء.

ابدأ الحل بتحديد العملية والمدخلين، ثم احسب المعايير. إذا كانت العملية جمعًا، ضع الحدين وافحص الاتجاه أو المركبات عند الحاجة إلى جواب محدد. وإذا كانت ضربًا أو قسمة فاستعمل المساواة المناسبة مع فحص المقام. ثم راجع هل السؤال يطلب عددًا مركبًا أم معيارًا أم مسافة بين نقطتين.

اختم المراجعة بتحديد هل النتيجة مساواة عامة أو حدًا أو حالة تساوٍ لها شرط. أمثلتنا والبرهان يوضحان لماذا قد تعطي المعايير أرقامًا سهلة بينما تبقى معلومات الاتجاه مهمة للجمع. ولا توجد في الرسوم تجربة حركة أو قياس مسافة ميدانية؛ إنها تمثيلات رياضية أصلية تساعد على فهم العلاقة التي حسبناها.