مماسان خارجيان لدائرتين: أزح مماس دائرة الفرق

ابدأ بدائرة الفرق ودائرة القطر

ارسم دائرة مركزها مركز الكبيرة ونصف قطرها فرق نصفي القطر. حدد منتصف خط المركزين، وارسم منه دائرة تمر بالمركزين لتعيين تماس الدائرة المساعدة. [1]

نختار دائرة مركزها و=(0،0) ونصف قطرها 5 سم، وأخرى مركزها ن=(10،0) ونصف قطرها 2 سم. البعد 10 أكبر من 5+2=7، فالدائرتان منفصلتان. نقصر الخطوات هنا على R>r>0 وd>R+r؛ لا نعامل تساوي نصفي القطر أو حالات التداخل بهذه النسخة دون تعديل.

دائرة الفرق في المثال س²+ص²=9. منتصف و ن هو م=(5،0)، ودائرة القطر تحقق (س−5)²+ص²=25، أي س²+ص²−10س=0. بطرح الشرطين نجد 10س=9، ومنه س=9/10.

نعوض: ص²=9−81/100=819/100=9×91/100. نختار ج=(9/10،3√91/10) فوق خط المركزين. المتجه و ج=(0.9،0.3√91)، وج ن=(9.1،−0.3√91)؛ حاصل ضربهما الداخلي 0.9×9.1−0.09×91=0. إذن خط ج ن عمودي على نصف قطر الدائرة المساعدة عند ج.

انقل اتجاه نصف القطر إلى الدائرة الصغيرة

مد الشعاع من مركز الكبيرة عبر التماس المساعد إلى الدائرة الأصلية. من مركز الصغيرة انسخ اتجاه هذا الشعاع بالجهة نفسها، وحدد تقاطعه مع دائرتها؛ صل النقطتين. [1]

في حساب المثال، نضع ع=و ج÷3=(3/10،√91/10). مربّع طوله 9/100+91/100=1. على شعاع و ج، النقطة أ=5ع=(1.5،√91/2) تبعد 5 سم عن و؛ ليست ج التي تبعد 3 فقط.

لنسخ الاتجاه في المثال، نأخذ من و نقطة ز=(−3،0) على خط المركزين، ونرسم من ن قوسًا بفتحة 3، ونعلّم عليه ز′=(7،0). ننقل الوتر ز ج إلى قوس مركزه ز′؛ التقاطع العلوي ت=(10.9،3√91/10) يحدد الشعاع ن ت. هذه نسخة زاوية الفتحة 3، لا نقل طول القوس. [1]

مربع ز ج=3.9²+9×91/100=15.21+8.19=23.4. ومربع ز′ ت يساوي المقدار نفسه؛ ن ت=3 سم. على الشعاع ن ت نختار التقاطع مع دائرة ن ذات نصف القطر 2: ب=ن+2ع=(10.6،√91/5). اختيار التقاطع العلوي في نسخ الاتجاه يوافق الجهة التي اخترناها لج.

المماس النهائي موازٍ للمساعد، وتبعد إزاحته عنه بمقدار نصف قطر الصغيرة. [2]

في مثالنا أ−ج=2ع وب−ن=2ع. نقلنا طرفَي القطعة ج ن بالإزاحة نفسها 2ع، فصارت أ ب موازية لها. مقدار الإزاحة 2 سم؛ استعمال ج ون نفسيهما يتركنا عند الخط المساعد.

تحقق من الخط النهائي ومن الخط المساعد

المماس عمودي على نصف القطر عند نقطة التماس. [3]

لمثالنا ع متجه وحدة عمودي على الخط، ومعادلة المماس العلوي ع·(س،ص)=5، أي 3س+√91ص=50. عند أ: 3×1.5+91/2=50. وعند ب: 3×10.6+91/5=31.8+18.2=50.

طول متجه المعاملات (3،√91) هو √100=10. المسافة من و إلى الخط |0−50|/10=5، ومن ن |30−50|/10=2؛ كل مسافة توافق نصف قطر دائرتها. المركزان في الجهة نفسها لأن تعبيري 0−50 و30−50 سالبان؛ الخط خارجي مشترك.

فرق ب−أ=(9.1،−3√91/10). مربع طول أ ب=9.1²+9×91/100=82.81+8.19=91، فيكون الطول √91 سم. الضرب الداخلي مع ع يساوي 2.73−2.73=0، فيثبت تعامد الخط مع نصفَي القطر المتوازيين.

الخط المساعد ج ن له المعادلة 3س+√91ص=30. المسافة من و إليه 3، ومن ن صفر؛ الأولى أصغر من 5 والثانية أصغر من 2. لهذا يقطع الدائرتين الأصليتين، وإن كان مماسًا صحيحًا لدائرة الفرق. فرق الثابتين 50−30=20 يعادل إزاحة عمودية 20/10=2 سم.

نقطة على الدائرة لا تكفي دون الجهة الصحيحة

نضع مقارنة خاطئة: أ كما هي، لكن نأخذ ب′=ن−2ع=(9.4،−√91/5). المسافة ن ب′=2 سم، فتقع ب′ فعلًا على الدائرة الصغيرة. إلا أن أ ب′=(7.9،−7√91/10)، وو أ=(1.5،√91/2).

الضرب الداخلي و أ·أ ب′=1.5×7.9−7×91/20=11.85−31.85=−20 سم²، فلا يتحقق التعامد عند أ. وصل نقطتين على الدائرتين لا يثبت أن الخط مماس؛ قلب جهة نصف القطر الثاني غيّر الخط.

لإنشاء الخط الآخر في المثال، نعكس الصادات: أ₋=(1.5،−√91/2) وب₋=(10.6،−√91/5). معادلته 3س−√91ص=50؛ تبقى المسافتان 5 و2. لا نخلط أ العلوية مع ب السفلى ثم نسمي الوصل مماسًا خارجيًا.

الصورة الداخلية تعرض خط ج ن المساعد القاطع للدائرتين، ثم خط الوصل الخاطئ أ ب′ في لوحة أخرى. المقاييس متساوية، والخط النهائي الصحيح متقطع للمقارنة. احتفظ بأسماء الدوائر والمراكز؛ عبارة «مماس» في خطوة مساعدة لا تعني أنه الناتج الأخير. الصور ليست مسطرة قياس على الشاشة.