من اخترع التفاضل والتكامل؟ نيوتن ولايبنتز وتاريخ النشر

الخلاصة السريعة

يُنسب تطوير حساب التفاضل والتكامل إلى إسحاق نيوتن وغوتفريد لايبنتز، اللذين سلكا طريقين مستقلين بعد جهود سابقة لعلماء آخرين. ولتحديد دور كل منهما، يجب التفريق بين تاريخ العمل على الأفكار وتاريخ نشرها. ^{[1] [5]}

• تطورت أفكار نيوتن الأساسية في ستينيات القرن السابع عشر، ومنها عمل سنة 1665. ^[2]
• استخدم لايبنتز رموزًا للتكامل في مخطوط سنة 1675، ونشر في التفاضل سنة 1684 وفي التكامل سنة 1686. ^[3]
• كتب نيوتن «طريقة التدفقات» سنة 1671، وظهرت ترجمتها الإنجليزية مطبوعة سنة 1736. ^[3]
• إذا كانت f مستمرة على [a,b] و F دالة أصلية لها، فإن التكامل المحدود يساوي F(b) − F(a). ^[4]

كيف نشأت أفكار التفاضل والتكامل؟

سبقت نيوتن ولايبنتز محاولات لمعالجة المساحات والمماسّات ومعدلات التغير، لدى علماء مثل كافالييري وفيرما وبارو. جاءت مساهمتهما ضمن تاريخ متصل، لكنهما طوّرا وسائل عامة ربطت الاشتقاق بالتكامل. ^[1]

تُظهر أوراق نيوتن في كامبريدج عمله على الحساب في منتصف ستينيات القرن السابع عشر، وتشير الجامعة إلى سنة 1665. وفي باريس، توصل لايبنتز إلى ترميز للتكامل في مخطوط سنة 1675. ^{[2] [3]}

من المفيد أن نقرأ «التطوير» بوصفه عملًا على المفاهيم والطرق. أما سؤال «من نشر أولًا؟» فيحتاج إلى وثيقة منشورة وتاريخها، ولا تجيب عنه وحدها أقدم ورقة في دفتر خاص.

الاكتشاف والنشر مساران مختلفان

نشر لايبنتز مقاله في حساب التفاضل سنة 1684 في مجلة Acta Eruditorum، ثم نشر في حساب التكامل سنة 1686، وظهر رمز التكامل في الطباعة ضمن ذلك العمل. أما كتاب نيوتن «طريقة التدفقات»، الذي كتبه سنة 1671، فلم تظهر ترجمته الإنجليزية إلا سنة 1736. ^[3]

يعرض الرسم مسارين منفصلين: تاريخ العمل المبكر، ثم وثائق النشر المذكورة. ليست سنة 1736 تاريخ بداية تفكير نيوتن في الحساب؛ كما أن نشر لايبنتز لا يلغي العمل الأسبق في دفاتر نيوتن.

ونشأ نزاع على الأسبقية بين أنصار الطرفين. يسجل التاريخ طرقًا وترميزات مختلفة؛ لذلك من الأوضح شرح المساهمتين بدل اختزال الجواب في اسم واحد. ^[1]

مثال يوضح صلة المشتقة بالتكامل

في الصياغة الحديثة للمبرهنة الأساسية، إذا كانت f مستمرة على الفترة المغلقة [a,b] وكانت F′ = f، فلدينا ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). هذه الشروط جزء من العبارة، وليست تفاصيل يمكن حذفها من القاعدة. ^[4]

نختار مثالًا جديدًا بلا وحدات: F(t) = t² + 2t، فتكون F′(t) = 2t + 2. عند t = 2 تساوي المشتقة 6. ولأن 2t + 2 مستمرة على [0,2]، يكون تكاملها المحدود F(2) − F(0) = 8 − 0 = 8.

يُظهر الرسم المستقيم f(t) = 2t + 2 بين الصفر و 2. المساحة تحته في هذا المثال شبه منحرف قاعدتاه 2 و 6 وعرضه 2؛ لذلك تساوي (2 + 6)×2/2 = 8. القيمة 6 مشتقة عند نقطة، والقيمة 8 تراكم على فترة؛ فلا نخلطهما.

هذه لغة رياضية حديثة لشرح الفكرة، وليست نقلًا حرفيًا لطريقة أحد العالمين. ولا يوجد قيد عام يستبعد t = 0 من الاشتقاق؛ مشتقة المثال عنده تساوي 2.

للمزيد عن الحساب نفسه، اقرأ التكامل المحدود. أما هذه الصفحة فتجيب أساسًا عن التاريخ والمساهمة والنشر.