منحنى كابا: فرعان منتظمان بمماس رأسي واحد

الخلاصة السريعة

في y²(x²+y²)=4x²، يمر فرعان منتظمان بالأصل، ولكل منهما المماس x=0. هما مختلفان بفجوة تربيعية قرب الأصل، واتحادهما متصل وله أربعة أطراف غير محدودة تقترب من y=2 وy=−2.

• الصيغتان المرجعيتان هما y²(x²+y²)=a²x² وr=a cotθ. [1] عند a=2 نستعمل x=2cosθcotθ وy=2cosθ، مع sinθ≠0. الزاوية بالراديان، وr موجه؛ الأصل يأتي عند θ=π/2 وθ=3π/2.
• ترتيب المعادلة يعطي (4−y²)x²=y⁴. يلزم |y|＜2، وعند y=0 يكون x=0. جميع الحلول تُكتب x=±u²/√(4−u²) وy=u، حيث−2＜u＜2؛ u إحداثي رأسي، لا زاوية أو زمنًا.
• مشتقة كل فرع بالنسبة إلى u هي(±u(8−u²)/(4−u²)^(3/2),1)، فتكون(0,1) عند الأصل. المروران منتظمان بمماس رأسي مشترك، وليسا رأسًا مدببًا. اتحاد الفرعين متصل؛ حذف الأصل يقسمه إلى أربعة أذرع.
• الفجوة الأفقية بين الفرعين عند الارتفاع u هي Δ=2u²/√(4−u²). عندما u→0 تؤول Δ/u² إلى1، فتتلاشى الفجوة تربيعيًا دون تطابق الفرعين. ولأي نقاط صحيحة تقترب من الأصل، تكون |x/y|→0؛ اتجاه خطوط الوصل رأسي.
• عند u=6/5 نحصل على P=(9/10,6/5) وQ=(−9/10,6/5)، والفجوة PQ=9/5. ميل المماس عند P هو64/123 ومعادلته123y−64x=90؛ المماس عند Q هو123y+64x=90. ميل OP يساوي4/3، وهو مختلف.
• عندما u→±2، يقترب y من±2 ويكبر |x| بلا حد. لذلك y=2 وy=−2 مقاربان أفقيان لا يبلغهما المنحنى. أما x=0 فهو مماس عند أصل صحيح، ويقطع المنحنى في الأصل وحده؛ لا يمثل مقارب أطرافه.

ثبت الصيغة ومعنى المعامل

يعرض المرجع الصيغ y²(x²+y²)=a²x² وr=a cotθ، والتمثيل x=a cosθcotθ وy=a cosθ. [1] نختار a=2، ونبقي اتجاه المحورين كما في هذه الصيغ؛ تبديل x وy يدير المسألة ويبدل اتجاه المماس والمقاربات.

نعمل في مستوى بمحورين متساويي المقياس. في القطبي x=r cosθ وy=r sinθ، ولذلك تعطي r=2cotθ الصيغتين x=2cos²θ/sinθ وy=2cosθ. لا تصلح الزوايا ذات sinθ=0 لأن جيب التمام لا ينعدم معها.

نقيس θ بالراديان من الاتجاه الأفقي الموجب. إذا كان r سالبًا تقع النقطة بعكس شعاع الزاوية؛ المسافة إلى القطب هي |r|. لا نستبدل r بمقداره المطلق قبل التحويل إلى الإحداثيين.

عند θ=π/2 وعند θ=3π/2 نجد r=0 وx=y=0. إذن O=(0,0) نقطة صحيحة للتمثيل وللمعادلة. أما θ=0 وθ=π فهما قيمتان غير صالحتين، لا طريقان آخران إلى الأصل.

سنغير المعامل إلى u=y كي ندرس الفرعين قرب الأصل دون تعقيد الزوايا. هذا اختيار إحداثي رأسي حقيقي، وليس مساواة بين زاوية وإحداثي، ولا وصفًا لسرعة جسم.

استخرج جميع الحلول داخل الشريط

من y²x²+y⁴=4x² نحصل على (4−y²)x²=y⁴. إذا |y|＞2، يكون الطرف الأيسر غير موجب بينما الطرف الأيمن موجب، فلا حل. وعند y=±2 تصبح المعادلة0=16، وهي مستحيلة.

عند y=0 تفرض المعادلة4x²=0، فنجد الأصل وحده. وإذا0＜|y|＜2، يكون4−y² موجبًا؛ نأخذ الجذر الموجب للمقام، ونحصل على x=±y²/√(4−y²).

نضع u=y ونكتب فرع اليمين x=u²/√(4−u²)، وفرع اليسار x=−u²/√(4−u²)، مع y=u و−2＜u＜2. عند u=0 يشمل كلا التمثيلين O؛ لا نحذف هذه الحالة بالقسمة على u.

التعويض العكسي يعطي x²=u⁴/(4−u²)، ثم(4−u²)x²=u⁴. إذن كل نقطة في التمثيل تحقق المعادلة، وكل حل حقيقي عاد إلى إحدى الإشارتين. ليس الرسم اختيارًا لبعض الحلول دون بقية المعادلة.

يتناظر المنحنى عند عكس x وعند عكس y. يقع الفرع الأيمن في x≥0 والأيسر في x≤0، ويشتركان في الأصل وحده. الشريط المفتوح−2＜y＜2 يحد الارتفاع، لكنه لا يحد الإحداثي الأفقي.

مروران منتظمان وخط مماس واحد

نشتق g(u)=u²/√(4−u²)، فنجد g′(u)=u(8−u²)/(4−u²)^(3/2). مشتقة موضع فرع اليمين هي(g′(u),1)، ومشتقة اليسار هي(−g′(u),1). المركبة الثانية تساوي1 دائمًا، فلا ينعدم أي من المتجهين.

عند u=0 تكون المشتقة(0,1) لكلا الفرعين. لذلك كل مرور منتظم ومماسه x=0. لا يتوقف التمثيل عند الأصل ولا يعكس اتجاه الإحداثي الرأسي هناك؛ يمر كل فرع من ارتفاع سالب إلى موجب.

اشتراك الخط لا يجعل الفرعين مسارًا واحدًا منتظمًا في جوار الأصل. خارج الأصل يظل أحدهما إلى اليمين والآخر إلى اليسار. قرب O توجد أربع قطع بحسب إشارة x وإشارة y، وتلتقي جميعها عند النقطة نفسها.

اتحاد الفرعين متصل، لأن كلا فرع متصل ويحتوي O. لكن إذا حذفنا الأصل بقيت أربعة أذرع منفصلة. نقول «فرعان منتظمان» لوصف التمثيلين الكاملين، ولا نحولهما إلى «مكونين متصلين» للاتحاد كله.

في الرأس المدبب المعتاد، مثل المثال المحلي x=v² وy=v³، تنعدم مشتقة هذا التمثيل عند v=0، ويقع الإحداثي الأفقي على جهة واحدة. كابا مختلف: لدينا تمثيلان بمشتقتين غير صفريتين، وكل منهما يعبر الارتفاع صفرًا. المماس المشترك وحده لا يقرر نوع الالتقاء.

قِس التلامس وافحص كل القواطع

عند ارتفاع u غير صفري، نأخذ نقطتين من الإشارتين. المسافة الأفقية بينهما هي Δ=2u²/√(4−u²). تكون موجبة، لذلك لا يتطابق الفرعان مهما ضاقت الفجوة قريبًا من الأصل.

نقسم الفجوة على u² حين u≠0: Δ/u²=2/√(4−u²). عندما u→0 تؤول النسبة إلى1. معنى ذلك أن مقدار الفجوة يقارب u²؛ هذا تلامس من المرتبة الثانية في هذا الإحداثي، لا تقاطع بمماسين مختلفين.

لكل فرع على حدة تكون x/u²→1/2 على اليمين، وإلى−1/2 على اليسار. هاتان النسبتان تحددان جهة الفرع إضافة إلى خط المماس. الصورة الداخلية تكبر جوار الأصل وتعرض فجوة أفقية عند ارتفاع موجب.

ولأي نقطة صحيحة غير الأصل، نجد |x/y|=|y|/√(4−y²). إذا اقتربت النقطة من O، فلا بد أن y→0، فتؤول هذه النسبة إلى صفر. لذلك اتجاه خط وصلها بالأصل يقترب من الخط الرأسي من أي فرع أو جهة.

هذه النتيجة تشمل جميع نقاط الجوار، لأننا استخرجنا جميع الحلول بالفعل. لا نحتاج إلى تثبيت فرع بعينه قبل النهاية؛ هما فرعان فقط وتشتركان في حد اتجاه القاطع. يختلف ذلك عن منحنى تتراكم فيه حلقات لا نهائية قرب الأصل باتجاهات وصل متعددة.

اتجاه الخط لا يحدد اتجاه شعاع واحد: من ارتفاع موجب يكون شعاع الوصل قريبًا من الاتجاه الرأسي الصاعد، ومن ارتفاع سالب يكون قريبًا من الهابط. الاتجاهان يعطِيان خط المماس نفسه، ولا نجمعهما في شعاع واحد.

راجع نقطة كسرية ومماسها

نختار u=6/5. عندها4−u²=64/25 وجذره8/5، فيكون x=(36/25)/(8/5)=9/10. نحصل على P=(9/10,6/5) في اليمين وQ=(−9/10,6/5) في اليسار.

بالتعويض في المعادلة عند P، نجد x²+y²=81/100+144/100=9/4. لذلك y²(x²+y²)=(36/25)(9/4)=81/25، وهو4x² أيضًا. الإشارة السالبة عند Q لا تغير هذا الاختبار.

الفجوة بين P وQ هي9/5 لأن لهما الارتفاع نفسه. أما متجه مشتقة فرع اليمين فهو(123/64,1)، فيكون الميل64/123. من y−6/5=(64/123)(x−9/10) نحصل على123y−64x=90.

في فرع اليسار يتغير اتجاه المركبة الأفقية، فيكون الميل−64/123، ومعادلة المماس123y+64x=90. يلتقي المماسان عند(0,30/41)، وليس عند O. اشتراك المماس في الأصل لا يعني أن مماسي نقطتين أخريين هما الخط نفسه.

توجد مراجعة بالاشتقاق الضمني: y′=x(4−y²)/(y(x²+2y²)) عندما y≠0. تعطي عند P النسبة64/123 نفسها. وعند O تصبح0/0، لكن تمثيلي الفرعين سبق أن حددا المماس؛ فشل صيغة ميل واحدة لا يلغي وجوده.

ميل شعاع OP هو(6/5)/(9/10)=4/3، وهو مختلف عن ميل المماس. يعرض الجدول الأصل ونقطتي الاختيار وانعكاسيهما تحت المحور الأفقي؛ كلها حلول للمعادلة، لا نقاط على المقاربات.

أربعة أطراف ومقاربان أفقيان

إذا u→2 من داخل المجال، يكون y→2، بينما u²/√(4−u²)→+∞. في فرع اليمين x→+∞ وفي اليسار x→−∞. البعد عن المستقيم y=2 هو2−u، ويؤول إلى صفر.

إذا u→−2 من داخل المجال، يكون y→−2 ويكبر |x| أيضًا. البعد عن y=−2 هوu+2، ويؤول إلى صفر. لذلك يقترب طرفا الارتفاع الموجب من المقارب العلوي، وطرفا الارتفاع السالب من السفلي.

لا توجد نقطة على أي من المقاربين، لأن y=±2 أعطت0=16. أما x=0 فيقطع المنحنى في الأصل وحده، وله دور المماس هناك. عند الأطراف يكبر |x|، فلا يقترب المنحنى من هذا المستقيم الرأسي.

المقاربان والمماس أدوار هندسية مختلفة: y=±2 يصفان الاقتراب عند اللانهاية، وx=0 يصف الاتجاه المحلي في نقطة صحيحة. النقاط المرسومة قرب المقاربات لا تقع عليهما، ونهايات العينات قص للعرض.

الصورة الرئيسية تعرض جزأين من الفرعين مع الأصل والمقاربات ونقاط P وQ وانعكاسيهما. اتحاد اللونين متصل عبر O، مع أن نهاياته غير محدودة. والصورة الداخلية تعرض جوارًا أكبر مقياسًا مع المماس والفجوة؛ لا نقرأ تغيير مقياس الصورة بوصفه تغييرًا للمعادلة.

يجمع المثال بين شريط ارتفاع محدود وإحداثي أفقي غير محدود، وبين فرعين منتظمين ومماس واحد، وبين اتصال الاتحاد وانفصال أربعة أذرع بعد حذف الأصل. كل عبارة ثبتت بالمجال أو المشتقة أو النهاية، لا بعدد الخطوط التي تظهر في نافذة الرسم.