موضعا العدسة بين جسم وشاشة: متى تظهر صورة واضحة؟

الخلاصة السريعة

للعدسة المجمعة الرقيقة موضعان إذا D>4f، وموضع واحد عند D=4f، ولا موضع عند D<4f. [1]

• نفترض أشعة قريبة من المحور وعدسة مثالية مجمعة؛ f>0 بعدها البؤري، وD>0 مسافة الجسم إلى الشاشة. العدسة بينهما. [1]
• u من الجسم لمركز العدسة، وv=D−u من المركز للشاشة؛ 1/u+1/v=1/f يعطي u²−Du+fD=0. [1]
• المميز Δ=D(D−4f): موجب لموضعين u=(D±√Δ)/2، وصفر لموضع u=v=2f، وسالب فلا صورة حادة على هذه الشاشة. [1]
• مثال افتراضي: D=100cm وf=24cm؛ (u,v)=(40cm,60cm) أو (60cm,40cm)، والتكبير m=−v/u يساوي −1.5 أو −2/3؛ الصورتان مقلوبتان. [1][2]
• حين D>4f: مقدار التكبير في موضع أكبر من 1 وفي الآخر أصغر؛ حاصل ضرب المقدارين 1. هذه نتائج النموذج، وليست ضماناً لعدسة حقيقية. [2] عند D=4f: m=−1، والحجم مساوٍ للجسم. [2]

ثبت الجسم والشاشة

نفترض أشعة قريبة من المحور وعدسة مثالية مجمعة؛ f>0 بعدها البؤري، وD>0 مسافة الجسم إلى الشاشة. العدسة بينهما. [1]

نغير موضع العدسة وحدها. الشاشة هنا موضع الصورة المطلوب؛ لا نبحث عن صورة في أي مكان آخر.

حوّل المسافتين إلى معادلة

u من الجسم لمركز العدسة، وv=D−u من المركز للشاشة؛ 1/u+1/v=1/f يعطي u²−Du+fD=0. [1]

نضرب في uvf، فنحصل على uv=fD؛ ثم نعوض v=D−u. [1]

اختبر عدد الحلول

المميز Δ=D(D−4f): موجب لموضعين u=(D±√Δ)/2، وصفر لموضع u=v=2f، وسالب فلا صورة حادة على هذه الشاشة. [1]

راجع موضعين في مثال واحد

مثال افتراضي: D=100cm وf=24cm؛ (u,v)=(40cm,60cm) أو (60cm,40cm)، والتكبير m=−v/u يساوي −1.5 أو −2/3؛ الصورتان مقلوبتان. [1][2]

1/40+1/60=1/24؛ تبديل المسافتين يبقي مجموعهما 100cm. [1]

ميز حجم الصورة من وضوحها

حين D>4f: مقدار التكبير في موضع أكبر من 1 وفي الآخر أصغر؛ حاصل ضرب المقدارين 1. هذه نتائج النموذج، وليست ضماناً لعدسة حقيقية. [2] عند D=4f: m=−1، والحجم مساوٍ للجسم. [2]

الإشارة السالبة في m تعني انقلاب الصورة؛ لا تعني حجماً سالباً. عند D=4f يكون m=−1، والحجم مساوياً للجسم. [2]