نظرية ذات الحدين: القانون والحد العام مع مثال محلول

الخلاصة السريعة

نظرية ذات الحدين تعطي مفكوك قوة مجموع حدين عندما يكون الأس عددًا صحيحًا غير سالب، وتتيح إيجاد حد معين دون نشر المقدار كله. ^[1]

• الصيغة المحدودة تستعمل أسًا صحيحًا غير سالب n. ^[1]
• الحد ذو الرتبة k+1 هو C(n,k)a^(n−k)b^k، حيث 0 ≤ k ≤ n. ^[1]
• في نموذجنا (2u−5v)^4، معامل u²v² هو 600.
• الحد الثالث الكامل في المثال هو 600u²v²، لا العدد 600 وحده.
• إدخال b = −5v يحافظ على إشارة الطرح في الحساب.

قانون ذات الحدين ومعنى الرموز

نكتب القانون (a+b)^n = Σ[k=0..n] C(n,k)a^(n−k)b^k، حيث C(n,k)=n!/[k!(n−k)!]. وفيه تتناقص قوة a وتزداد قوة b. ^[1]

لنأخذ مثالًا جديدًا: a=2u، و b=−5v، و n=4. نعوض عن الحد الثاني بكامل إشارته، فلا نحسب قوى 5v ثم نحاول توزيع علامات الطرح في النهاية.

ترتيب المعاملات لهذه القوة هو 1، 4، 6، 4، 1. ولأن b سالب، تصبح الحدود ذات قوى v الفردية سالبة، بينما تبقى حدود قوى v الزوجية موجبة في هذا المثال.

إذا كان المطلوب أسًا كسريًا أو سالبًا، فلا نطبق هذه الصيغة المحدودة كما هي. نطاقها هنا هو الأس الصحيح غير السالب؛ والحالة n=0 تعطي كثير الحدود الثابت 1. ^[1]

إيجاد معامل حد دون نشر كامل

رتبة الحد تبدأ من 1، بينما يبدأ الدليل k من 0. لذلك يحتاج الحد الثالث إلى k=2، وليس k=3. ^[1]

نحسب C(4,2)=4!/(2!2!)=6. ثم نعوض: T3=6(2u)²(−5v)²=6×4×25×u²v²=600u²v².

هنا العدد 600 هو معامل u²v²، أما الحد فهو حاصل ضربه في المتغيرين بقوتيهما. وللمقارنة، الحد الرابع ينتج عند k=3: T4=4(2u)(−5v)³=−1000uv³.

إذا سُئلت عن معامل uv³، فأجب بسالب 1000. وإذا سُئلت عن الحد الرابع، فاكتب العبارة الكاملة سالب 1000 مضروبًا في uv³. تغيير السؤال يغير مقدار ما تكتبه، مع بقاء الحساب نفسه.

مراجعة المفكوك في المثال

المفكوك الكامل للمقدار المختار هو 16u⁴−160u³v+600u²v²−1000uv³+625v⁴. مجموع أسّي u و v في كل حد منه يساوي 4.

نختبره عند u=v=1. الطرف الأول (2−5)^4=81، والطرف الثاني 16−160+600−1000+625=81. هذه مراجعة عددية للمثال، وليست برهانًا عامًا على النظرية.

وعند v=0 تبقى 16u⁴ وحدها، كما يعطي المقدار الأصلي (2u)^4. وعند u=0 تبقى 625v⁴، وهي (−5v)^4.

الرسم داخل المقال يفصل خطوات الحد الثالث: اختيار k، ثم حساب التوافيق، ثم قوى العددين. بهذه القراءة يتضح موضع 6 و 4 و 25 في المعامل 600، من دون الخلط بين أحد هذه العوامل والمعامل النهائي.

للقراءة المتصلة بهذا الموضوع: مثلث باسكال: بناء الصفوف وقراءة معاملات ذات الحدين.