أصغر زمنين أسيين والفجوة: هل يستقلان؟

أصغر زمنين أسيين والفجوة مستقلان عند تساوي المعدلين. [1][4]

الخلاصة السريعة

نعم، ضمن الفروض التالية. [4]

• X,Y~Exp(λ) مستقلان بلا إزاحة؛ معدل مشترك 0<λ<∞ بالدقيقة⁻¹. U=min(X,Y),V=max(X,Y),G=V−U=|X−Y| بالدقائق؛ التعادل والصفر احتمالهما صفر. [1][2]
• كثافة المرتبين 2λ²e^(−λ(u+v)) على 0<u<v. العكس v=u+g بجاكوبيان مطلق 1؛ المشترك h(u,g)=2λ²e^(−2λu−λg) على u>0,g>0، وصفر خارجه؛ بوحدة الدقيقة⁻². [1][3]
• بالتكامل: f_U(u)=2λe^(−2λu),f_G(g)=λe^(−λg) على النصف الموجب، وصفر خارجه؛ بالدقيقة⁻¹. إذن U~Exp(2λ),G~Exp(λ)؛ توزيعان مختلفان. [2][4]
• h=f_Uf_G على المجال كله؛ إذن U,G مستقلان. المجال المستطيل وحده لا يثبت الاستقلال. [4]
• لـs,t≥0 منتهيين بالدقائق، P(U>s,G>t)=e^(−2λs−λt). بالمثال المؤلف λ=1,t=0.5,s=0,0.5,1، الاحتمالات ≈0.606531,0.223130,0.082085. [4]
• القسمة على P(U>s)=e^(−2λs)>0 تعطي P(G>t|U>s)=e^(−λt)؛ تساوي ≈0.606531 بالحالات الثلاث. هذا شرط حدث موجب، لا الشرط الدقيق U=s الذي احتماله صفر. [4]

المراجع

1. Siegrist: الترتيب
2. Penn State: الأسي
3. Penn State: التحويل
4. Penn State: المشترك

الانتظار الأسي

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.