أقل سرعة قذف لنقطة مرتفعة تحتاج زاوية تعتمد على موضعها. [1]
الخلاصة السريعة
في مثالنا، الحد الأدنى نحو13.416 م/ث بزاوية56.310°، أعلى من45°. [1][2]
- ننطلق من الأصل نحو نقطة(X,Y)، حيث X>0 وY>0 بالمتر. جسم نقطي، g>0 ثابتة بالمتر/ثانية² لأسفل؛ نهمل الهواء والعوائق. θ زاوية البداية فوق الأفق: 0<θ<90°. [1]
- إذا كانت سرعة البداية v بالمتر/ثانية والزمن t بالثانية: x=vcosθ·t، وy=vsinθ·t−gt²/2. الحركتان تتشاركان الزمن؛ المسار قطع مكافئ. [1]
- نضع u=tanθ بلا وحدة. بإلغاء الزمن وحل معادلة الوصول: v²=gX²(1+u²)/(2(Xu−Y))؛ يلزم u>Y/X. عندما Xu≤Y لا تكفي سرعة منتهية بهذه الزاوية. [1]
- ضع D=√(X²+Y²). الفرق v²−g(Y+D) يساوي g(Xu−Y−D)²/[2(Xu−Y)]≥0. إذن u*=(Y+D)/X، وvmin=√(g(Y+D))؛ θ*=arctan(u*). النجمة للقيمة المثلى؛ لأنها تجعل المربع صفرًا. [2]
- افتراضيًا X=12m، Y=5m، g=10m/s²: D=13m، وu*=1.5؛ θ*≈56.310° وvmin≈13.416m/s. الرسم يقارن السرعة لـ0.75≤u≤3 في هذا المثال. [1][2]
- عند45° للمثال نفسه: u=1، ونحتاج v≈14.343m/s، أعلى من الحد الأدنى. أما الوصول بالحل الأمثل فزمنه t≈1.612s؛ s ثانية. تقليل سرعة البداية يختلف عن طلب أقصر زمن وصول. [1]
حدد نقطة الوصول والافتراضات
ننطلق من الأصل نحو نقطة(X,Y)، حيث X>0 وY>0 بالمتر. جسم نقطي، g>0 ثابتة بالمتر/ثانية² لأسفل؛ نهمل الهواء والعوائق. θ زاوية البداية فوق الأفق: 0<θ<90°. [1]
اكتب الحركتين بزمن واحد
إذا كانت سرعة البداية v بالمتر/ثانية والزمن t بالثانية: x=vcosθ·t، وy=vsinθ·t−gt²/2. الحركتان تتشاركان الزمن؛ المسار قطع مكافئ. [1]
استخرج السرعة لكل زاوية
نضع u=tanθ بلا وحدة. بإلغاء الزمن وحل معادلة الوصول: v²=gX²(1+u²)/(2(Xu−Y))؛ يلزم u>Y/X. عندما Xu≤Y لا تكفي سرعة منتهية بهذه الزاوية. [1]
اثبت الحد الأدنى
ضع D=√(X²+Y²). الفرق v²−g(Y+D) يساوي g(Xu−Y−D)²/[2(Xu−Y)]≥0. إذن u*=(Y+D)/X، وvmin=√(g(Y+D))؛ θ*=arctan(u*). النجمة للقيمة المثلى؛ لأنها تجعل المربع صفرًا. [2]
المقام موجب داخل المجال؛ لذلك المربع يثبت حدًا أدنى عالميًا، لا مجرد نقطة سكون للمشتقة. [2]
طبق مثالًا أصليًا
افتراضيًا X=12m، Y=5m، g=10m/s²: D=13m، وu*=1.5؛ θ*≈56.310° وvmin≈13.416m/s. الرسم يقارن السرعة لـ0.75≤u≤3 في هذا المثال. [1][2]
قارن اختيار45°
عند45° للمثال نفسه: u=1، ونحتاج v≈14.343m/s، أعلى من الحد الأدنى. أما الوصول بالحل الأمثل فزمنه t≈1.612s؛ s ثانية. تقليل سرعة البداية يختلف عن طلب أقصر زمن وصول. [1]
المراجع
أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.