أنواع المثلثات: تصنيف الأضلاع والزوايا مع أمثلة

التصنيف بحسب الأضلاع

في بعض التعريفات، تعني عبارة متساوي الساقين أن للمثلث ضلعين متساويين على الأقل، فتشمل متساوي الأضلاع. وعند تقديم الأنواع كخانات مدرسية منفصلة، نفرد متساوي الأضلاع باسم خاص. المعلومة الهندسية الثابتة هي تساوي الزوايا المقابلة للأضلاع المتساوية. ^[1]

المثلث متساوي الأضلاع زواياه الثلاث 60 درجة. أما متساوي الساقين فلا يشترط أن تكون كل زواياه 60؛ فإذا كانت زاوية رأسه 100 درجة، تكون كل زاوية قاعدة 40 درجة. الاسم يصف تساوي الأضلاع قبل أي شيء آخر. ^[1][2]

التصنيف بحسب الزوايا

مجموع الزوايا الداخلية 180 درجة. لذلك لا توجد زاويتان قائمتان أو زاويتان منفرجتان في مثلث غير منعدم المساحة؛ عندئذ لا يبقى قياس موجب للزاوية الثالثة. ^[2]

وجود زاويتين حادتين لا يكفي لوصف المثلث بأنه حاد. فالمثلث المنفرج له زاويتان حادتان أيضًا؛ التصنيف يعتمد على الزاوية الثالثة. مثال الزوايا 30 و 50 و 100 درجة منفرج لأن إحداها تتجاوز 90.

كيف يجتمع الوصفان؟

المثلث ذو الزوايا 45 و 45 و 90 درجة قائم ومتساوي الساقين معًا. والمثلث ذو الزوايا 40 و 70 و 70 درجة حاد ومتساوي الساقين، بينما ذو الزوايا 100 و 40 و 40 درجة منفرج ومتساوي الساقين. الرسوم تعرض هذه الحالات بأطوال ساقين متساوية فعلًا. ^[1][2]

المثلث متساوي الأضلاع حاد دائمًا لأن كل زاوية 60 درجة. أما مختلف الأضلاع فيمكن أن يكون حادًا أو قائمًا أو منفرجًا. مثلًا أطوال 3 و 4 و 5 تصنع مثلثًا مختلف الأضلاع وقائمًا، لأن 3² + 4² = 5².

افحص شرط تكوين مثلث أولًا

لثلاثة أطوال موجبة، يجب أن يكون مجموع أي ضلعين أكبر من الضلع الثالث. إذا رتبناها بحيث c هو الأطول، يكفي فحص a + b > c؛ فالشرطان الآخران يتحققان تلقائيًا للأطوال الموجبة بهذا الترتيب. ^[3]

الأطوال 4 و 5 و 8 صالحة لأن 4 + 5 = 9 > 8. أما 4 و 5 و 9 فلا تصنع مثلثًا ذا مساحة موجبة، لأن المجموع يساوي الضلع الأطول؛ تقع النقاط على خط واحد في الحالة الحدية. والأطوال 2 و 3 و 6 لا تحقق الشرط أصلًا.

هذا الفحص يسبق تصنيف الزوايا. إجراء مقارنة المربعات على أطوال لا تصنع مثلثًا لا يحولها إلى مثلث منفرج؛ يجب أن يوجد المثلث أولًا.

تمييز الزوايا من أطوال الأضلاع

إذا كان c هو أطول ضلع في مثلث صالح، فإن قانون جيب التمام للزاوية المقابلة له γ يعطي cos γ = (a² + b² − c²)/(2ab). المقام موجب؛ لذلك إشارة البسط تحدد هل أكبر زاوية حادة أو قائمة أو منفرجة. ^[4]

في أطوال 4 و 5 و 6، نقارن 6² = 36 مع 4² + 5² = 41؛ المثلث حاد ومختلف الأضلاع. وفي أطوال 4 و 5 و 8، نجد 8² = 64 > 41؛ المثلث منفرج ومختلف الأضلاع. الرسم الداخلي يحافظ على نسب هذه الأطوال، فلا يظهر زاوية حادة بدل الزاوية المنفرجة.

لا نقارن ضلعًا عشوائيًا؛ المطلوب أكبر زاوية، وهي المقابلة لأطول ضلع. كما أن شرط تساوي مربع ضلع مع مجموع مربعي الآخرين يدل على قائم الزاوية بعد تحقق صلاحية الأطوال.

مثال زاوية ناقصة وطريقة مراجعة

إذا كانت زاويتان 50 و 65 درجة، فالثالثة 180 − (50 + 65) = 65 درجة. المثلث حاد لأنه لا يضم زاوية تبلغ 90، ومتساوي الساقين لأن زاويتين متساويتين تقابلهما ساقان متساويتان. ^[1][2]

نطرح مجموع الزاويتين، لا الفرق بينهما. بعد الحساب نجمع 50 + 65 + 65 = 180 للتأكد. إذا أعطت المسألة زاويتين مجموعهما 180 أو أكثر، فلا يمكن إضافة زاوية ثالثة موجبة لتكوين مثلث مستوٍ غير منعدم المساحة.

حدد أولًا ما إذا كانت المعطيات أطوالًا أو زوايا، ثم افحص شروطها. بعد ذلك اكتب وصف الأضلاع ووصف الزوايا كلًا على حدة. هذه الطريقة تعطي وصفًا أدق من محاولة وضع المثلث في اسم واحد فقط.