الفرق والمضاعف المشترك الأصغر: كيف تسترجع العددين؟

إيجاد عددين من الفرق والمضاعف يختلف عن إعطاء الفرق والقاسم. نسترجع القاسم من المعطيين، ثم نفحص المرشح الوحيد للصحيحين الموجبين. [1][2]

الخلاصة السريعة

زوج واحد على الأكثر؛ ليس كل فرق ومضاعف مقبولين. [1][2]

• صحيحان موجبان a≤b، وفرق صحيح D=b−a≥0، ومضاعف أصغر L=lcm(a,b) موجب. gcd القاسم الأكبر؛ التبديل لا يضيف حلًا. [1]
• اكتب a=hu وb=hv، حيث h=gcd(a,b) وgcd(u,v)=1؛ D=h(v−u) وL=huv. أولي يقسم v−u وuv يقسم أحد العاملين ثم الآخر؛ مستحيل. إذن gcd(v−u,uv)=1، وh=G=gcd(D,L). [1][2]
• من ab=GL نحصل على a²+Da−GL=0. ضع Q=D²+4GL وd=√Q؛ المرشح a=(d−D)/2 وb=(d+D)/2. Q>D²؛ الجذر الآخر سالب. يلزم مربع صحيح، وعددان صحيحان موجبان؛ راجع الفرق والمضاعف. [1]
• مثال مؤلف L=180 وD=24: G=12 وGL=2160 وQ=9216 وd=96. الزوج (36,60) فرقه 24 وقاسمه 12، ومضاعفه 36×60/12=180. [1]
• L=180 وD=23 يعطيان Q=1249 بين 35²=1225 و36²=1296؛ لا زوج صحيح. عمومًا b≤L، فـD<L؛ يستحيل D=180 هنا. إيجابية Q لا تكفي. [1]
• D=0 يعني a=b؛ مضاعفهما L، فالزوج (L,L) وحده، مثل (180,180). عمومًا مرشح موجب واحد لا يضمن الوجود الصحيح. [1]

المراجع

1. Mount Royal: القاسم
2. MathWorld: لمّة إقليدس

حساب المضاعف المشترك الأصغر

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.