إيجاد عددين من المجموع والمضاعف يختلف عن إعطاء القاسم والمضاعف. نسترجع القاسم أولًا، ونثبت أن زوجًا واحدًا على الأكثر يوافق المعطيين. [1][2]
الخلاصة السريعة
يحددان زوجًا واحدًا على الأكثر دون ترتيب؛ الوجود يحتاج فحصًا. [1][2]
- صحيحان موجبان a≤b، بمجموع S=a+b ومضاعف أصغر L=lcm(a,b) موجب. gcd القاسم الأكبر؛ تبديلهما لا يضيف حلًا. [1]
- اكتب a=hu وb=hv، حيث h=gcd(a,b) وgcd(u,v)=1؛ S=h(u+v) وL=huv. أولي يقسم u+v وuv يقسم أحد العاملين ثم الآخر؛ مستحيل. إذن gcd(u+v,uv)=1، وh=G=gcd(S,L). [1][2]
- ضع P=GL؛ جذرا T²−ST+P=0 هما a=(S−d)/2 وb=(S+d)/2، حيث d=√Δ وΔ=S²−4P. يلزم Δ≥0 مربعًا صحيحًا، وجذران صحيحان موجبان؛ راجع المجموع والمضاعف الأصليين. [1]
- مثال مؤلف L=126 وS=60: G=6 وP=756 وΔ=576 وd=24. نراجع (18,42): مجموعهما 60، وقاسمهما 6، ومضاعفهما 18×42/6=126. [1]
- مع L=126: S=59 يعطي Δ=2977 بين 54²=2916 و55²=3025، فلا جذور صحيحة. S=30 يعطي Δ=−2124، فلا جذور حقيقية. لا زوج موجب في المسألتين. [1]
- S=252 وL=126 يعطيان Δ=0 و(126,126). العددان المتساويان مقبولان. المعادلة تحدد زوجًا واحدًا على الأكثر؛ راجع الوجود في المعطيين. [1][2]
حدد المجال والمعطيين
صحيحان موجبان a≤b، بمجموع S=a+b ومضاعف أصغر L=lcm(a,b) موجب. gcd القاسم الأكبر؛ تبديلهما لا يضيف حلًا. [1]
استرجع القاسم من المجموع والمضاعف
اكتب a=hu وb=hv، حيث h=gcd(a,b) وgcd(u,v)=1؛ S=h(u+v) وL=huv. أولي يقسم u+v وuv يقسم أحد العاملين ثم الآخر؛ مستحيل. إذن gcd(u+v,uv)=1، وh=G=gcd(S,L). [1][2]
كوّن المرشح وافحص وجوده
ضع P=GL؛ جذرا T²−ST+P=0 هما a=(S−d)/2 وb=(S+d)/2، حيث d=√Δ وΔ=S²−4P. يلزم Δ≥0 مربعًا صحيحًا، وجذران صحيحان موجبان؛ راجع المجموع والمضاعف الأصليين. [1]
تحقق من المثال المقبول
مثال مؤلف L=126 وS=60: G=6 وP=756 وΔ=576 وd=24. نراجع (18,42): مجموعهما 60، وقاسمهما 6، ومضاعفهما 18×42/6=126. [1]
ميز عدم وجود جذور صحيحة
مع L=126: S=59 يعطي Δ=2977 بين 54²=2916 و55²=3025، فلا جذور صحيحة. S=30 يعطي Δ=−2124، فلا جذور حقيقية. لا زوج موجب في المسألتين. [1]
افصل التعيين من الوجود
S=252 وL=126 يعطيان Δ=0 و(126,126). العددان المتساويان مقبولان. المعادلة تحدد زوجًا واحدًا على الأكثر؛ راجع الوجود في المعطيين. [1][2]
المراجع
أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.