ارتفاع المثلث متساوي الساقين: القانون وأمثلة محلولة

ما الارتفاع المقصود في المثلث متساوي الساقين؟

عندما تتساوى ساقان، نسمي الضلع المقابل لرأسهما المشترك القاعدة. والعمود النازل من هذا الرأس إلى القاعدة ينصفها، فينتج مثلثان قائمان متطابقان. لذلك نستخدم نصف طول القاعدة في الحساب، بينما يبقى طول الساق كاملاً لأنه وتر كل مثلث صغير. ^[1]

يمكن رسم ارتفاع من كل رأس في أي مثلث. وقد تتغير قيمته عندما نختار ضلعاً آخر قاعدة، كما قد يقع امتداد بعض الارتفاعات خارج المثلث. أما ارتفاع الرأس الواقع بين الساقين المتساويتين إلى قاعدتهما، فيلتقي القاعدة في منتصفها. اتجاه الورقة لا يحدد الارتفاع؛ الذي يحدده هو التعامد على الضلع المختار. ^[2]

قانون ارتفاع المثلث متساوي الساقين

لنرمز لطول الساق بالحرف a، وللقاعدة بالحرف b، وللارتفاع بالحرف h. بتطبيق نظرية فيثاغورس على أحد المثلثين القائمين، نجد a² = h² + (b/2)². وبعزل مربع الارتفاع ثم أخذ الجذر الموجب نحصل على القانون التالي: ^[3]

h = √(a² − (b/2)²)

يشترط أن تكون الأطوال موجبة وأن تكون القاعدة أصغر من مجموع الساقين، أي 0 < b < 2a. إذا ساوت القاعدة مجموعهما أصبح الارتفاع صفراً ولم يتشكل مثلث ذو مساحة. وإذا تجاوزتهما، فلن تصنع الأطوال المعطاة مثلثاً أصلاً. لا تعالج هذه الحالة بتجاهل الإشارة السالبة تحت الجذر.

مثال: القاعدة 10 سم والساق 13 سم

نصف القاعدة يساوي 10/2 = 5 cm. ومن ثم يكون مربع الارتفاع 13² − 5² = 169 − 25 = 144 cm²، ويكون الارتفاع √144 = 12 cm. هنا الناتج صحيح تماماً، فلا نحتاج إلى علامة التقريب.

وللتأكد، نجمع مربعي الضلعين القائمين: 12² + 5² = 169، وهو مربع الساق. كما نستطيع حساب المساحة من A = bh/2 فنجد A = 10 × 12/2 = 60 cm². يجمع هذا الفحص بين أطوال الرسم ومساحته بدلاً من الاكتفاء بناتج آلة حاسبة. ^[4]

حساب الارتفاع من المساحة أو المحيط

إذا أعطتنا المسألة المساحة والقاعدة، نرتب قانون المساحة لنجد h = 2A/b. فمثلث مساحته 105 cm² وقاعدته 14 cm ارتفاعه 2 × 105/14 = 15 cm. وإذا أردنا طول ساقه، نستخدم نصف القاعدة 7 سم مع الارتفاع لنجد a = √274 ≈ 16.55 cm؛ علامة التقريب ضرورية هنا.

وإذا كانت المعطيات هي المحيط والقاعدة، نحسب الساق أولاً من a = (P − b)/2. مثلاً، مع محيط 36 سم وقاعدة 10 سم تكون الساق 13 سم، فنعود إلى المثال السابق ويكون الارتفاع 12 سم. يجب توحيد وحدات جميع الأطوال قبل التعويض.

هل يتساوى الارتفاع إلى القاعدة والارتفاع إلى الساق؟

ليس دائماً. في المثال الأول، المساحة 60 سم². إذا اعتبرنا الساق ذات الطول 13 سم قاعدة جديدة، أصبح الارتفاع المقابل لها 2 × 60/13 = 120/13 ≈ 9.23 cm. لا يعني اختلاف الارتفاعين تغير المثلث؛ إنما تغير الضلع الذي نقيس المسافة العمودية إليه.

لتجنب الخطأ، اكتب اسم القاعدة وطولها بجوار القانون، ثم حدد الارتفاع المقابل لها في الرسم. احتفظ بالقيم الدقيقة إلى نهاية الحل، وافحص أن طول الارتفاع إلى القاعدة أقصر من الساق في مثلث غير منعدم.