ارتفاع المثلث والمسافة إلى قطعة القاعدة قد يختلفان. نرسم مثلثًا منفرجًا بإحداثيات مؤلفة، ونحسب الارتفاع والمسافة إلى الضلع والمساحة. [1]
الخلاصة السريعة
يتساويان عندما تقع قدم العمود على قطعة القاعدة. [2]
- في المستوى الإقليدي، نفرق بين قطعة القاعدة المحدودة والمستقيم الذي يحتويها. أقرب نقطة على المستقيم هي قدم العمود؛ وعلى القطعة قد تكون أحد طرفيها. يتساوى الارتفاع والمسافة إلى القطعة إذا وقعت القدم عليها، بما في ذلك الطرفان. [2]
- نختار A=(0,0)، B=(6,0)، C=(−2,3)، بوحدة السنتيمتر. القاعدة AB طولها 6، والمثلث منفرج عند A. قدم العمود H=(−2,0) خارج قطعة القاعدة، على امتدادها إلى اليسار. اختيار قاعدة أخرى يقتضي ارتفاعًا يقابلها. [1]
- الارتفاع المقابل للقاعدة AB هو CH=3، عموديًا على المستقيم y=0. بقاء القدم خارج الضلع لا يبطل الارتفاع. أما المسار CA فمائل إلى هذا المستقيم؛ لا يصبح ارتفاعًا لمجرد وصوله إلى طرف القاعدة. [1]
- لأي Q=(x,0) على القطعة، 0≤x≤6، نجد CQ²=(x+2)²+9. أقل قيمة عند x=0، أي Q=A؛ لذلك المسافة إلى القطعة √13≈3.606، وهي أكبر من الارتفاع 3. الإسقاط خارج القطعة يجعل الطرف A أقرب نقطة. [2]
- المساحة تساوي نصف حاصل ضرب القاعدة في الارتفاع المقابل: 6×3÷2=9 سم². تعويض الارتفاع بالمسافة إلى القطعة يعطي 3√13≈10.817 سم²، نتيجة خاطئة لهذا المثلث. استعمل العمود على المستقيم الحامل للقاعدة، ولو احتجت إلى مدها. [1]
- انقل الرأس إلى (2,3): تقع القدم على القطعة، والمسافتان 3. ثم إلى (8,3): الارتفاع 3، وأقرب نقطة على القطعة B، والمسافة √13. تظل المساحة 9 سم²؛ الموضع الأفقي يغير أقرب نقطة، ولا يغير الارتفاع هنا. [1][2]
القطعة والمستقيم الحامل لها
في المستوى الإقليدي، نفرق بين قطعة القاعدة المحدودة والمستقيم الذي يحتويها. أقرب نقطة على المستقيم هي قدم العمود؛ وعلى القطعة قد تكون أحد طرفيها. يتساوى الارتفاع والمسافة إلى القطعة إذا وقعت القدم عليها، بما في ذلك الطرفان. [2]
مثلث بقدم عمود خارجية
نختار A=(0,0)، B=(6,0)، C=(−2,3)، بوحدة السنتيمتر. القاعدة AB طولها 6، والمثلث منفرج عند A. قدم العمود H=(−2,0) خارج قطعة القاعدة، على امتدادها إلى اليسار. اختيار قاعدة أخرى يقتضي ارتفاعًا يقابلها. [1]
أي طول يمثل الارتفاع؟
الارتفاع المقابل للقاعدة AB هو CH=3، عموديًا على المستقيم y=0. بقاء القدم خارج الضلع لا يبطل الارتفاع. أما المسار CA فمائل إلى هذا المستقيم؛ لا يصبح ارتفاعًا لمجرد وصوله إلى طرف القاعدة. [1]
احسب أقرب طريق إلى القطعة
لأي Q=(x,0) على القطعة، 0≤x≤6، نجد CQ²=(x+2)²+9. أقل قيمة عند x=0، أي Q=A؛ لذلك المسافة إلى القطعة √13≈3.606، وهي أكبر من الارتفاع 3. الإسقاط خارج القطعة يجعل الطرف A أقرب نقطة. [2]
الطول الصحيح في قانون المساحة
المساحة تساوي نصف حاصل ضرب القاعدة في الارتفاع المقابل: 6×3÷2=9 سم². تعويض الارتفاع بالمسافة إلى القطعة يعطي 3√13≈10.817 سم²، نتيجة خاطئة لهذا المثلث. استعمل العمود على المستقيم الحامل للقاعدة، ولو احتجت إلى مدها. [1]
حرك الرأس أفقيًا
انقل الرأس إلى (2,3): تقع القدم على القطعة، والمسافتان 3. ثم إلى (8,3): الارتفاع 3، وأقرب نقطة على القطعة B، والمسافة √13. تظل المساحة 9 سم²؛ الموضع الأفقي يغير أقرب نقطة، ولا يغير الارتفاع هنا. [1][2]
المراجع
أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.