هل يحدد القاسم والمضاعف عددين بعينهما؟

إيجاد عددين من القاسم والمضاعف مسألة عكسية؛ معرفة حاصل ضربهما لا تضمن اختيار زوج واحد. نستخرج كل الأزواج في مثال مؤلف بأعداد صحيحة موجبة. [1][2]

الخلاصة السريعة

لا دائمًا: القاسم 6 والمضاعف 144 يسمحان بالزوجين (6,144) و(18,48). [2]

• نبحث عن عددين صحيحين موجبين a≤b، وقيمتين صحيحتين موجبتين G وL. نعني G=gcd(a,b) أكبر قاسم مشترك، وL=lcm(a,b) أصغر مضاعف مشترك موجب. تبديل العددين لا يعد حلًا آخر. [1]
• يجب أن يقسم G العدد L: فهو يقسم a، وa يقسم L. عند تحقق ذلك نضع N=L/G، وu=a/G، وv=b/G. العلاقة ab=GL تعطي uv=N؛ ويلزم gcd(u,v)=1، وإلا وجد قاسم للعددين أكبر من G. [2]
• كل زوج عوامل موجبين uv=N مع gcd(u,v)=1 يعيد حلًا a=Gu وb=Gv: قاسمهما G، إذ لا عامل إضافي مشترك، ومضاعفهما G²uv/G=L. لسرد الحلول دون تكرار، اختبر قواسم N التي تحقق u≤√N، وضع v=N/u، ثم اقبل الأزواج الأولية نسبيًا فقط. [1]
• في مثال G=6 وL=144، نحصل على N=24. أزواج عوامله دون تكرار: (1,24)، (2,12)، (3,8)، (4,6). قواسم الأزواج الكبرى هي 1،2،1،2؛ المقبولان يعيدان (6,144) و(18,48)، وهما كل الحلول المطلوبة هنا. [1]
• الزوج (12,72) يحقق ab=864=6×144، لكنه مرفوض: gcd(12,72)=12 وlcm(12,72)=72. حاصل الضرب شرط لازم وحده؛ يجب التحقق من القاسم والمضاعف المطلوبين، لا من أحدهما أو من حاصل الضرب فقط. [2]
• شرط G يقسم L كافٍ أيضًا للوجود: الزوج (G,L) يحقق المطلوب. لذلك G=6 وL=25 مستحيلان. إذا G=L=6، فإن N=1 وزوج العوامل الوحيد (1,1)، والحل الوحيد (6,6). الوجود لا يعني دائمًا التعيين. [2]

المراجع

1. Mount Royal: القاسم والمضاعف والأولية النسبية
2. Barrus وClark: برهان علاقة حاصل الضرب

حساب المضاعف المشترك الأصغر

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.