الأعداد الزوجية والأعداد الفردية: الصفر والسالب ونتائج العمليات

الخلاصة السريعة

العدد الصحيح الزوجي يكتب 2k، والفردي يكتب 2k + 1، حيث k عدد صحيح. يقبل الزوجي القسمة على 2 دون باقٍ، بينما لا يقبل الفردي ذلك؛ ويشمل التصنيف الصفر والأعداد الصحيحة السالبة. ^{[1] [2]}

• الصفر زوجي لأن 0 = 2 × 0؛ والسالب 6 زوجي والسالب 5 فردي وفق الصيغتين. ^[1]
• جمع عددين من النوع نفسه أو طرحهما يعطي عددًا زوجيًا؛ واختلاف النوع يعطي فرديًا. ^[2]
• إذا كان أحد عاملَي الضرب زوجيًا فالناتج زوجي، وضرب فرديين يعطي فرديًا. ^[3]
• القسمة لا تتبع جدولًا مماثلًا: 14 ÷ 2 = 7 فردي، و 16 ÷ 2 = 8 زوجي، و 6 ÷ 4 غير صحيح. ^[3]
• التصنيف يتعلق بالقيمة: 8/2 يساوي العدد الزوجي 4، أما 3/2 فليس عددًا صحيحًا ليصنَّف زوجيًا أو فرديًا. ^{[1] [3]}

هل الصفر والعدد السالب داخل التصنيف؟

الفكرة هي وجود عدد صحيح k، وليست اشتراط أن يكون العدد موجبًا. للسالب 6 نختار k = −3 في 2k، وللسالب 5 نختار k = −3 في 2k + 1. وللصفر نختار k = 0؛ فلا يبقى سبب لإخراجه من الزوجية. ^[1]

يمثل الزوجي أزواجًا كاملة دون عنصر متبقٍّ، والفردي يزيد عنصرًا واحدًا على عدد من الأزواج. الرسم بستة وسبعة عناصر يوضح ذلك للأعداد الموجبة؛ أما الصيغ الجبرية فتشمل الصفر والسالب أيضًا. ^[2]

كيف نعرف نوع الناتج دون حساب طويل؟

إذا كتبنا زوجيين 2a و 2b، فجمعهما 2(a + b) وطرحهما 2(a − b). أما الفرديان 2a + 1 و 2b + 1، فجمعهما 2(a + b + 1) وطرحهما 2(a − b)؛ كل هذه صيغ زوجية. ^[3]

عند الجمع أو الطرح بين زوجي وفردي تبقى وحدة إضافية بعد عامل 2. وفي الضرب، يحمل وجود عامل زوجي عامل 2 إلى الناتج؛ بينما (2a + 1)(2b + 1) = 2(2ab + a + b) + 1 فردي. ^[2]

مثلًا، يكفي معرفة أن 17 فردي و 23 فردي لنقول إن 17 + 23 زوجي. ويمكن معرفة أن 17 × 23 فردي دون تنفيذ الضرب كاملًا. ^[2]

لماذا نتحقق من القسمة على حدة؟

لا تنقل زوجية المقسوم والمقسوم عليه حكمًا ثابتًا إلى الخارج. أمثلتنا 14/2 و 16/2 و 6/4 تبدأ جميعًا بزوجيين، لكنها تنتهي بفردي وزوجي وقيمة غير صحيحة على الترتيب. ^[3]

نحسب قيمة التعبير أولًا عند وجود كسر: كتابة 8/2 لا تمنع تصنيفه، لأن قيمته 4. أما 1.5 فلا يحقق 2k أو 2k + 1 مع k صحيح؛ فلا نطلق عليه أي النوعين. والقسمة على الصفر لا تعطي قيمة يمكن تصنيفها. ^{[1] [3]}

للقراءة المتصلة بهذا الموضوع: ما هو العدد الصحيح؟ أمثلة وخط أعداد يوضح الموجب والسالب.