الجملة المفتوحة في الرياضيات تتضمن متغيرًا أو أكثر، ويعتمد التحقق من صدقها على القيم التي نضعها مكان المتغير. مثلًا x + 4 = 9 تصبح صحيحة إذا كان x = 5، وتصبح خاطئة إذا كان x = 2. وحلها يعني إيجاد القيم التي تحققها ضمن المجال المحدد. [1] [2]
العبارة ليست دائمًا جملة يمكن الحكم عليها
الكتابة x + 4 عبارة جبرية، لكنها لا تزعم وحدها تساوي شيئين أو تفاضلهما. حين نكتب x + 4 = 9 نضيف علاقة مساواة؛ وحين نكتب x + 4 < 9 نضيف علاقة متباينة. لذلك لا يكفي وجود حرف لنسمي أي كتابة جملة مفتوحة. [1] [3]
وتدل قيمة الحل على ما يجعل العلاقة صحيحة عند التعويض. المعادلة والمتباينة لا تطلبان دائمًا عددًا واحدًا؛ قد توجد مجموعة من القيم المناسبة، كما سيوضح المثال. [2] [3]
ابدأ بالتعويض عندما تكون المجموعة صغيرة
افترض الجملة x + 4 = 9، ومجموعة التعويض {2, 4, 5, 7}. بتجربة 2 تصبح 6 = 9، وبتجربة 4 تصبح 8 = 9، وبتجربة 5 تصبح 9 = 9، وبتجربة 7 تصبح 11 = 9. إذن مجموعة الحل هنا {5}.
أما للجملة x + 4 < 9 مع المجموعة نفسها، فتنجح القيمتان 2 و4، ولا تنجح 5 أو7. تصبح مجموعة الحل {2, 4}. تغيير علامة المساواة إلى علامة «أصغر من» غيّر السؤال، رغم بقاء الطرفين بالشكل نفسه.
الحل بالعمليات: حافظ على العلاقة بين الطرفين
في المعادلة x + 4 = 9، نطرح 4 من الطرفين فنصل إلى x = 5. ثم نرجع إلى الجملة الأصلية للتأكد: 5 + 4 = 9. تنفيذ العملية على طرف واحد فقط لا يحفظ المساواة. [2]
ولحل −2x < 6 نقسم الطرفين على −2، لكننا نعكس علامة المتباينة؛ فتكون النتيجة x > −3. القسمة أو الضرب بعدد سالب يتطلبان هذا الانعكاس. فالقيمة صفر، مثلًا، تحقق الأصل لأن 0 < 6، وتحقق النتيجة لأنها أكبر من −3. [3]
لماذا يجب تحديد المجال أو مجموعة التعويض؟
في الجملة 2x = 5، الحل ضمن الأعداد الحقيقية هو x = 2.5. لكن إذا اقتصر السؤال على الأعداد الصحيحة، فلا توجد قيمة صحيحة تحقق الجملة. لا تعارض بين الإجابتين؛ تغيّر المجال الذي نبحث داخله.
وعندما نضع متباينة مثل x < 5 دون مجموعة صغيرة، قد يكون المقصود جميع الأعداد الحقيقية الأصغر من 5، لا أربعة أعداد صحيحة فقط. لذلك اقرأ شرط السؤال قبل سرد الحلول. [3]
حوّل سؤالًا لفظيًا ثم تحقق منه
لدى صندوق عدد مجهول من الأقلام، وأُضيفت إليه أربعة أقلام فأصبح فيه تسعة. إذا رمزنا للعدد الأول بـ x، تكون الجملة x + 4 = 9. الحل خمسة أقلام، ويمكن التحقق بقراءة القصة من جديد: خمسة مع أربعة تعطي تسعة.
أما إذا قالت القصة إن العدد بعد الإضافة أقل من تسعة، فالجملة x + 4 < 9، ولا يجوز استبدال كلمة «أقل» بعلامة المساواة. وإذا كانت الأقلام أشياء تُعد، فإن القيم المقبولة أعداد صحيحة غير سالبة؛ المجال جزء من معنى القصة، لا خطوة إضافية بلا أثر.
المصادر ومتابعة القراءة
- OpenStax، Elementary Algebra: الفرق بين العبارة والمعادلة (يفتح في نافذة جديدة)openstax.org
- OpenStax، Elementary Algebra 2e: حل المعادلات بالجمع والطرح والتحقق (يفتح في نافذة جديدة)openstax.org
- OpenStax، Elementary Algebra 2e: المتباينات وحلولها (يفتح في نافذة جديدة)openstax.org
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.