الأعداد الحقيقية هي الأعداد التي يمكن تمثيلها على خط الأعداد؛ تضم الأعداد النسبية وغير النسبية معًا. لذلك لا تقتصر على الأعداد الصحيحة أو على القيم الموجبة: الكسر والسالب والصفر والجذر غير النسبي قد يكون كل منها عددًا حقيقيًا. [1]
أين تقع المجموعات الأصغر؟
كل عدد صحيح هو أيضًا عدد نسبي، إذ يمكن كتابته على صورة كسر مقامه1؛ والعدد النسبي هو نسبة عددين صحيحين مقامها غير صفر. أما العدد الحقيقي غير النسبي فلا يكتب بهذه الصورة. يرمز عادة إلى مجموعة الأعداد الحقيقية بـ ℝ. [1]
| القيمة | وصف صحيح لها | سبب التصنيف |
|---|---|---|
| −9 | صحيح، ونسبي، وحقيقي | يمكن كتابته −9/1 |
| 3/8 | نسبي وحقيقي | كسر من عددين صحيحين |
| 0 | صحيح، ونسبي، وحقيقي | يمكن كتابته 0/1 |
| √2 | غير نسبي وحقيقي | له موضع على الخط، ولا يساوي نسبة عددين صحيحين |
أسماء المجموعات ليست بطاقات متنافسة؛ انتماء −9 إلى الأعداد الصحيحة لا يمنع انتماءه إلى مجموعة أوسع. ولتحديد العدد نفسه نختار الوصف المناسب للسؤال، أو نذكر جميع المجموعات المطلوبة.
كيف تقرأ خط الأعداد؟
نختار نقطة للصفر ووحدة طول ثابتة. تمثل القيم الموجبة إلى اليمين والسالبة إلى اليسار، وتزداد القيمة عند التحرك يمينًا. موضع العدد لا يعتمد على طريقة كتابته: نصف و0.5 لهما النقطة نفسها. [1]
مثال أصلي: لتمثيل −1.5 نحدد منتصف المسافة بين−2 و−1. ولتمثيل 3/2 نحدد منتصف المسافة بين1 و2. كلا العددين نسبي، ومع ذلك لا يقع أي منهما عند تدريجة عدد صحيح.
وبما أن 1² < 2 < 2² فإن √2 يقع بين1 و2. نرسمه قرب1.414 إذا احتجنا إلى تقريب موضعه؛ لا يعني ذلك أن1.414 يساوي الجذر بدقة.
هل شكل الكتابة يحدد نوع العدد؟
قد تخفي الكتابة طبيعة قيمة بسيطة. التعبير √81 يساوي9، ولذلك يمثل عددًا صحيحًا ونسبيًا وحقيقيًا. والتعبير 12/4 يساوي3، فلا يصبح عددًا غير صحيح لمجرد ظهوره في صورة كسر.
في المقابل، √2 لا يصير نسبيًا لأن شاشة الآلة الحاسبة عرضت عددًا محدودًا من الخانات. الشاشة تعرض تقريبًا عشريًا، والتصنيف يتعلق بالقيمة الدقيقة.
هل كل جذر عدد حقيقي؟
الجذر التربيعي لعدد سالب لا ينتمي إلى الأعداد الحقيقية، لأن مربع أي عدد حقيقي لا يكون سالبًا. فالمعادلة x² = −4 ليس لها حل حقيقي، وإن كانت قابلة للحل عند الانتقال إلى الأعداد المركبة.
سؤال للتطبيق: صنف −√64 و5/4 و√7. الأول يساوي−8 وهو صحيح ونسبي وحقيقي، والثاني نسبي وحقيقي، والثالث غير نسبي وحقيقي. تبسيط القيمة قبل التصنيف يوفر عليك كثيرًا من الأخطاء.
المصادر ومتابعة القراءة
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.