الأعداد النسبية وغير النسبية: كيف تميز بينهما في الكسور والجذور؟

الكسور والعشريات ليست مجموعات متعارضة

الكسر 7/20 يساوي0.35، ولذلك يمثل عددًا نسبيًا بكتابتيه. والعدد−6 نسبي أيضًا لأن −6 = −6/1. الشرط هو إمكان كتابة القيمة كنسبة عددين صحيحين، وليس أن تظهر علامة الكسر بالفعل. ^[1]

أما √2/3 فهو غير نسبي؛ وجود خط كسر لا يكفي، لأن البسط ليس عددًا صحيحًا، ولا توجد نسبة بديلة من عددين صحيحين تساوي القيمة. ولو كان √2/3 نسبيًا لكان ضربه في3 يجعل √2 نسبيًا، وهذا يناقض طبيعة √2.

لماذا لا يكون كل عدد عشري غير منتهٍ غير نسبي؟

انظر إلى 0.272727… مع استمرار المجموعة27 بلا نهاية. نضع x = 0.272727… ثم نحرك الفاصلة منزلتين فنحصل على 100x = 27.272727…. بطرح التعبيرين تزول الأجزاء الدورية: 99x = 27، ومنها x = 27/99 = 3/11.

هذا مثال على عدد عشري غير منتهٍ لكنه نسبي. العلامة الحاسمة هنا هي الدورية، أي تكرار مجموعة من الخانات إلى ما لا نهاية، لا مجرد وجود نقاط بعد آخر خانة. ^[1]

عرض ست خانات على الشاشة لا يخبرك وحده إن كان العدد الدقيق منتهيًا أو دوريًا أو غير دوري؛ تحتاج إلى معرفة القيمة أو القاعدة التي تنتجها.

كيف تفحص الجذور؟

الجذر التربيعي لعدد صحيح غير سالب يكون نسبيًا إذا كان العدد مربعًا كاملًا، مثل49. ولا يجوز إسقاط هذا الحكم على جميع التعابير التي تحتوي جذورًا؛ فتبسيط التعبير كاملًا قد يزيل الجذر.

هل يبقى الناتج غير نسبي دائمًا؟

لا. من الأمثلة الأصلية √18 × √2 = √36 = 6، و√3 + (−√3) = 0. كلا الناتجين نسبي رغم أن القيم المستخدمة غير نسبية.

وفي المقابل، √3 + 2 غير نسبي؛ إذ لو كان نسبيًا لأدى طرح2 منه إلى قيمة نسبية تساوي √3. لا تحفظ قاعدة عامة تقول إن جمع غير النسبي أو ضربه يعطي دائمًا النوع نفسه؛ افحص العملية وشروطها.

تمرين قصير مع الإجابة

أي القيم الآتية نسبية: 0.125، √12، 0.454545… الدوري؟ الأولى نسبية وتساوي1/8، والثانية غير نسبية وتساوي2√3، والثالثة نسبية وتساوي45/99 أي5/11. في كل حالة يستند الحكم إلى القيمة الدقيقة، لا إلى عدد الخانات الظاهرة.