المضاعفات والقواسم: الفرق بينهما وكيف تجد كلًا منهما

كيف تجد المضاعفات؟

اضرب العدد في0 ثم1 ثم2 ثم3 وهكذا. للعدد5 نحصل على 0، 5، 10، 15، 20…. وإذا طلب السؤال المضاعفات الموجبة الأولى تبدأ بـ5، لأن الصفر غير موجب. وتستمر مضاعفات العدد الموجب بلا نهاية. ^[1]

لكي تختبر15، تقسمه على5؛ الناتج3 صحيح، إذن15 مضاعف لـ5. أما17 فليس مضاعفًا له لأن 17/5 = 3.4، وليس عددًا صحيحًا.

كيف تجد القواسم دون نسيان أحدها؟

اكتب أزواج الأعداد الموجبة التي حاصل ضربها يساوي العدد المطلوب. بالنسبة إلى15، الأزواج هي 1 × 15 و3 × 5، فتكون القواسم الموجبة 1، 3، 5، 15.

وللعدد36، نجد الأزواج 1×36، 2×18، 3×12، 4×9، 6×6. لذلك قواسمه الموجبة هي 1، 2، 3، 4، 6، 9، 12، 18، 36. لا نكتب6 مرتين لأنه ظهر عاملين في الزوج نفسه.

هذه قائمة محدودة لعدد محدد، خلافًا لقائمة مضاعفاته. والقسمة المتتابعة على أعداد أولية قد تفيد في التحليل إلى عوامل أولية، لكنها لا تعرض تلقائيًا جميع القواسم. ^[1]

القاسم المشترك: مسألة مجموعات متساوية

لدينا18 بطاقة زرقاء و30 بطاقة خضراء، ونريد تكوين أكبر عدد من المجموعات المتطابقة مع استخدام البطاقات كلها. عدد المجموعات يجب أن يقسم18 و30 معًا.

قواسِم18 الموجبة هي 1، 2، 3، 6، 9، 18، وقواسِم30 هي 1، 2، 3، 5، 6، 10، 15، 30. أكبر قاسم مشترك هو6؛ فنكوّن ست مجموعات، في كل منها ثلاث بطاقات زرقاء وخمس خضراء.

المضاعف المشترك: مسألة تزامن

إذا ومض ضوء كل4 ثوانٍ وآخر كل6 ثوانٍ، وبدأا بالوميض معًا، فمتى يتزامنان مجددًا؟ مضاعفات4 الموجبة تبدأ 4، 8، 12… ومضاعفات6 تبدأ 6، 12، 18….

أول زمن مشترك موجب هو12 ثانية. هنا نبحث عن المضاعف المشترك الأصغر، لأن المطلوب زمن يقع في سلسلتي التكرار، وليس تقسيم عدد ثابت إلى مجموعات.

قاعدة مراجعة سريعة

في عبارة «a قاسم لـb» يجب أن تكون b/a عددًا صحيحًا مع a غير صفر. وفي عبارة «b مضاعف لـa» يمكنك كتابة b = a×k لعدد صحيح k. قد تختلف إشارات القواسم عند توسيع المجال، ولذلك حددنا القواسم الموجبة في هذا الشرح.

والصفر مضاعف لأي عدد صحيح لأن ضربه في0 يعطي0، لكنه لا يستخدم قاسمًا؛ القسمة على الصفر غير معرفة. وإذا سألك التمرين عن «أول ثلاثة مضاعفات موجبة للعدد7»، فالجواب7 و14 و21.