زاويتان على الوتر نفسه: متى تتساويان ومتى يكون مجموعهما180 درجة؟

ثبّت الوتر ثم حدّد قوس الرأس

في دائرة واحدة، الزاويتان المحيطيتان اللتان تقابلان الوتر نفسه تتساويان عندما يقع رأساهما على القوس نفسه، دون طرفيه. [1]

القوس المقابل لا يمر بالرأس. الزاوية المحيطية نصف الزاوية المركزية المقابلة للقوس نفسه. [2]

في مثال الوتر ص=3، الرأس على القوس السفلي يقابل القوس العلوي، دون القوس الذي يحتويه.

قياس القوس هنا بالدرجات، لا بالسنتيمتر. تحريك الرأس على القوس نفسه يبقي القوس المقابل ثابتًا.

رأسان متباعدان يعطيان53.130 درجة

نختار دائرة س²+ص²=25، مركزها و=(0،0) ونصف قطرها5 وحدات. الطرفان أ=(−4،3) وب=(4،3) يحققان16+9=25، وطول الوتر أ ب=8.

نختار ج=(0،−5) ود=(3،−4). كلاهما على المحيط لأن0²+(−5)²=25 و3²+(−4)²=25. وإحداثي ص في كل منهما أصغر من3، فيقعان في الجهة السفلى من الوتر وعلى قوسه الأكبر.

للتحقق العددي، نطرح إحداثيات الرأس من كل طرف. من ج يكون المتجهان إلى أ وب(−4،8) و(4،8). نضرب المركبتين المتناظرتين ثم نجمع:−16+64=48. مربع طول كل متجه80؛ جيب تمام الزاوية48/80=3/5.

الزاوية التي جيب تمامها3/5، والمحصورة بين0° و180°، تساوي نحو53.130°. هذه طريقة حساب للزاوية الداخلية؛ لا نجعلها زاوية اتجاه كاملة بين0° و360°.

من د يكون المتجهان(−7،7) و(1،7). حاصل الضرب الداخلي−7+49=42، ومربعا الطولين98 و50. حاصل ضرب الطولين√(98×50)=70، فيكون جيب تمام الزاوية42/70=3/5 نفسه.

ضلعَا الزاوية عند ج طول كل منهما√80، بينما عند د طولهما√98 و√50. تغيرت الأطوال ولم تتغير الزاوية. هذا يوضح لماذا لا نقارن الزوايا بطول ضلع منفرد.

الرأس على القوس الآخر يغيّر القوس المقابل

إذا كان رأسا زاويتين محيطيتين على جهتين متقابلتين من الوتر نفسه، فمجموع الزاويتين180°. [3]

نضع هـ=(0،5)، وهي نقطة على القوس العلوي لأن0²+5²=25 و5>3. متجها هـ أ و هـ ب هما(−4،−2) و(4،−2). حاصل الضرب الداخلي−16+4=−12، ومربع طول كل منهما20، فيكون جيب تمام الزاوية−3/5.

زاوية أ هـ ب نحو126.870°، وهي180° ناقص زاوية أ ج ب. تحقق الأرقام التقريبية126.870+53.130=180.000؛ علاقة التكامل دقيقة قبل التقريب أيضًا.

نراجع القوسين من المركز: متجها و أ و و ب هما(−4،3) و(4،3). حاصل الضرب−16+9=−7، وحاصل ضرب الطولين25. الزاوية المركزية الأصغر ذات جيب التمام−7/25 تساوي نحو106.260°، والقوس الآخر قياسه360° ناقصها، أي نحو253.740°.

الرأسان ج ود يقابلان القوس الأصغر؛ نصف106.260° نحو53.130°. الرأس هـ يقع على هذا القوس الأصغر، ولذلك يقابل القوس الأكبر؛ نصف253.740° نحو126.870°. نسجل القوس أولًا ثم ننصف قياسه.

لو استعملنا الزاوية المركزية الأصغر لكل رأس لأعطينا هـ النتيجة53.130°، مع أن حساب متجهيه أعطى جيب تمام سالبًا وزاوية منفرجة. هذا فحص مستقل يكشف اختيار القوس الخاطئ.

الجهة نفسها لا تعوّض شرط المحيط

نبقي أ وب كما هما ونختار مركز الدائرة و=(0،0) رأسًا. المتجهان إلى أ وب(−4،3) و(4،3)، فتكون الزاوية نحو106.260°؛ هذه زاوية مركزية، وليست إحدى الزاويتين المحيطيتين عند ج ود.

ونختار ق=(0،−4)، وهي تحت الوتر في جهة ج ود نفسها، لكنها داخل الدائرة لأن0²+(−4)²=16<25. المتجهان ق أ و ق ب هما(−4،7) و(4،7). حاصل الضرب33 وحاصل ضرب الطولين65؛ جيب تمام الزاوية33/65، وزاويتها نحو59.490° لا53.130°.

إذن افحص وقوع الرأس على الدائرة بالتعويض قبل استعمال التساوي. شرط الجهة أو القوس يأتي بعد شرط المحيط. الصورة التقريبية وحدها لا تثبت هذين الشرطين.

إذا اخترنا الرأس أ، صار أحد الضلعين المتجه الصفري أ أ؛ لا نحدد زاوية بينه وبين أ ب. وينطبق ذلك عند الرأس ب. طرفا الوتر مستبعدان من حركة الرأس في المقارنة.

الوتر المختار طوله8، والقطر10، فلا نفترض زاوية قائمة لمجرد وجود وتر. استعملنا إحداثيات في وحدة طول واحدة؛ الزوايا بالدرجات، وقيمها العشرية تقريب إلى ثلاث منازل. احتفظ بالكسور الدقيقة عند فحص التساوي.