الستروفويد القائم: هل مساحة الحلقة تساوي المساحة قرب المقارب؟

الخلاصة السريعة

لا؛ للمنحنى (2−x)y²=x²(2+x)، تكون مساحة الحلقة 8−2π≈1.716815 وحدة مربعة، ومساحة المنطقة بين الفرعين الخارجيين والخط x=2 هي 8+2π≈14.283185 وحدة مربعة. نحسب المنطقتين بقيم موجبة وحدود مختلفة؛ مجموعهما16 وفرق المساحتين4π.

• نستخدم x=2(t²−1)/(1+t²) وy=tx، انعكاسًا أفقيًا للتمثيل المرجعي عند المقياس2. [1] المعامل t حقيقي بلا قيمة محدودة مستبعدة، وليس زاوية قطبية أو زمنًا. المجال −1≤t≤1 يرسم الحلقة؛ |t|≥1 يرسم الفرعين الخارجيين.
• الأصل O=(0,0) يأتي عند t=−1 وt=1. المشتقتان (−2,2) و(2,2) غير صفريتين؛ المماسان y=−x وy=x متعامدان. عند A=(−2,0)، حيث t=0، المماس رأسي x=−2؛ الأصل عقدة تقاطع لا رأس مدبب.
• الهوية 2−x=4/(1+t²)＞0 تثبت المقارب x=2 عند |t|→∞ وعدم بلوغه. عند t=2 نجد P=(6/5,12/5)، ومماسه31x−8y=18؛ إسقاطه D=(2,12/5)، والفجوة DP=4/5. أي نقطة على x=2 تفشل في معادلة المنحنى.
• الحلقة تقع في x≤0، ومساحتها نصف تكامل xy′−yx′ على −1≤t≤1. لأن y=tx، تصبح الدالة تحت التكامل x²/2؛ النتيجة L=8−2π. لا نضم الفرعين الخارجيين إلى هذا الحد المغلق.
• للمنطقة الخارجية نأخذ الشرائط الأفقية بعرض2−x، ونحسب B=2∫[1,∞](2−x)y′dt؛ العامل2 يضم النصف السفلي. التعويض t=tan v يعطي B=8+2π. محدودية المساحة لا تعني أن الفرعين أو المقارب محدودا الامتداد.
• كل نصف خارجي مساحته4+π؛ مجموع المساحة الخارجية والحلقة16، والفرق4π. الرسم الرئيسي يعرض الحلقة كاملة وأجزاء محدودة من الخارج، والداخلي جزءًا علويًا فقط؛ التظليل المقطوع لا يمثل المنطقة الخارجية كلها.

ثبت المعادلة واتجاه الرسم

تعطي المراجع الصيغة y²=x²(a−x)/(a+x). [2] نختار a=2 ثم نعكس الإحداثي الأفقي؛ تصبح معادلة مثالنا (2−x)y²=x²(2+x). الحلقة إلى اليسار، والمقارب الذي سنحسبه إلى اليمين.

نستعمل x=2(t²−1)/(1+t²) وy=tx. هذا انعكاس للتمثيل المرجعي في MathWorld عند مقياس2، مع إعادة تحجيم المعامل. [1] سنراجع النقاط والمناطق من هذه الصيغة المعلنة.

المقام1+t² موجب لكل t حقيقية، فلا توجد قيمة محدودة نحذفها. وبالتعويض المباشر تتحقق معادلة المنحنى. بعيدًا عن الأصل تكون t=y/x؛ عند الأصل نراجع قيم المعامل منفصلة بدل القسمة على صفر.

عندما −1≤t≤1 يكون x≤0؛ يبدأ التتبع من الأصل ويدور حول الحلقة ثم يعود إليه. وعندما |t|≥1 يكون x≥0، فيظهر الفرع العلوي للقيم الموجبة والسفلي للقيم السالبة.

لا يوجد جزء حقيقي في x＜−2 أوx≥2. في الحالة الأولى يصبح x²(2+x) سالبًا والطرف الآخر غير سالب؛ وفي الثانية يستحيل تساوي الطرفين. عند x=−2 نحصل على A=(−2,0).

المعامل t عدد بلا وحدة هنا، وليس زاوية قطبية أو زمنًا. نحافظ على وحدة طول واحدة للمحورين؛ جميع المساحات اللاحقة بوحدة مربعة تخص هذا المقياس2.

الأصل يلتقي بمرورين منتظمين

عند t=−1 وعند t=1 يعطي التمثيل O=(0,0). هذه نقطتان في مجال المعامل تمثلان الموضع الهندسي نفسه؛ لا يعني ذلك حذف الأصل أو اعتبار أحد المرورين قيمة غير صالحة.

نشتق بالنسبة إلى t: x′=8t/(1+t²)²، وy′=2(t⁴+4t²−1)/(1+t²)². عند −1 تكون المشتقة(−2,2)، وعند1 تكون(2,2). كلاهما غير صفري.

ميل المرور الأول−1 وميل الثاني1؛ المماسان y=−x وy=x متعامدان. الأصل عقدة يتقاطع عندها فرعان منتظمان، وليس رأسًا مدببًا تنعدم عنده مشتقة الموضع.

أما t=0 فيعطي A=(−2,0)، والمشتقة هناك(0,−2). لذلك المماس x=−2 رأسي، رغم أن المعامل منتظم. عدم وجود ميل محدود لا يعني غياب خط المماس.

أي نقطة غير الأصل تحدد نسبة t=y/x واحدة، لذلك لا يعاد تتبعها بمعامل آخر. تنحصر العودة إلى موضع سابق في الأصل عند ±1؛ يحد هذا الوصف الحلقة الصحيحة دون إلغاء أحد طرفي مجالها.

الخطوط الخضراء القصيرة في الرسم الرئيسي تظهر مماسي الأصل ومماس A. دورها محلي عند نقاط صحيحة؛ الخط الأحمر x=2 مقارب عند امتداد الفرعين إلى اللانهاية، وله دور مختلف.

راجع المقارب بنقطة وفجوة موجبة

من الصيغة الوسيطية نجد 2−x=4/(1+t²)، وهي موجبة لكل قيمة محدودة من t. عندما |t|→∞ تؤول الفجوة إلى صفر، بينما y=tx غير محدود في اتجاه موجب أو سالب؛ إذن x=2 مقارب رأسي.

لا نضع t=∞ في التمثيل بوصفها عددًا عاديًا. الحد يحدد خط الاقتراب، لكنه لا يعطي نقطة نهائية من الفرع. عند x=2 تصبح المعادلة0=16 مهما كانت y، فلا توجد نقطة من المنحنى على هذا الخط.

نختار t=2. تصبح P=(6/5,12/5)، وتحقق (2−x)y²=x²(2+x): الطرفان576/125. إسقاطها الأفقي على المقارب هو D=(2,12/5)، فتكون DP=2−6/5=4/5.

في الموضع نفسه تكون المشتقة(16/25,62/25)، وميل المماس31/8. معادلته31x−8y=18، وتعويض P يعطي186/5−96/5=18. ميل الشعاع OP يساوي2، فلا نستبدله بميل المماس.

بالتناظر حول المحور الأفقي نحصل على Q=(6/5,−12/5) عند t=−2. أما D ونقطة W=(2,0) فهما مرجعان على المقارب؛ يعطي الفرق F=(2−x)y²−x²(2+x) القيمة−16 عند كل منهما.

يجمع الجدول الأصل وA ونقطتي الفرعين وإسقاط P. في الرسم الداخلي تمثل القطعة الذهبية PD شريطًا أفقيًا بعرض4/5 في ذلك الارتفاع؛ لا نجعل هذا العرض ثابتًا عند جميع الارتفاعات.

احسب المساحة التي تغلقها الحلقة

تتبع الحلقة من t=−1 إلىt=1 يدور من الأصل عبر الجزء العلوي إلىA، ثم عبر السفلي إلى الأصل. لا نضيف إلى هذه الدورة أي قطعة على المقارب؛ الخط x=2 ليس جزءًا من حد الحلقة.

مساحة الحلقة L هي نصف تكامل xy′−yx′ على هذا المجال. لأن y=tx، تكون y′=x+tx′؛ لذا xy′−yx′=x². أصبح لدينا مقدار غير سالب في التتبع المختار.

تناظر الدالة في t يحول نصف التكامل على[−1,1] إلى تكامل x² على[0,1]. نضع h(t)=((1−t²)/(1+t²))²، ثم L=4∫[0,1]h(t)dt.

دالة أصلية لـh هي g(t)=t−2arctan t+2t/(1+t²). يمكن فحصها بالاشتقاق: نحصل على1−4t²/(1+t²)²، وهو يساوي h(t). الرمز arctan يعني معكوس الظل بالراديان.

عند الطرفين g(0)=0 وg(1)=2−π/2. إذن L=4[g(1)−g(0)]=8−2π، نحو1.716815 وحدة مربعة. نحتفظ بالتربيع في h؛ إسقاطه يغير التكامل والنتيجة.

توافق مساحة الحلقة الصيغة المرجعية a²(4−π)/2 عند a=2. [2] أما المنطقة الخارجية فليست هذه الحلقة ولا تكملة قرص معلوم؛ تحتاج إلى حد مستقل ومقياس مساحة مناسب.

في الصورة الرئيسية التظليل الذهبي داخل الحلقة كامل. المساحة المحسوبة تأتي من المعادلة والتكامل، لا من قياس عدد البكسلات أو مقارنة مساحة اللون بحجم بطاقة في الرسم.

اجمع الشرائط الأفقية حتى اللانهاية

نحدد المنطقة الخارجية عند كل ارتفاع y≥0 بين الفرع العلوي ذي t≥1 والخط x=2، ثم نضم انعكاسها تحت المحور. عرض الشريط الأفقي هو2−x، وليس قيمة x ولا المسافة إلى الأصل.

على t≥1 تكون y′=2(t⁴+4t²−1)/(1+t²)² موجبة. لذلك يزداد y من0 إلى∞، ويحدد كل ارتفاع نقطة واحدة من الفرع الخارجي العلوي. لا نأخذ نقطة من الحلقة عند حساب هذا العرض.

مساحة النصف العلوي هي تكامل العرض بالنسبة إلى y. عند تغيير المتغير إلى t يجب استعمال dy=y′dt. وللنصفين معًا نكتب B=2∫[1,∞](2−x)y′dt؛ حذف y′ يترك تكاملًا آخر لا يحسب هذه المساحة.

بعد التعويض تصبح الدالة تحت التكامل16(t⁴+4t²−1)/(1+t²)³. نضع t=tan v، فتتغير الحدود من1 و∞ إلىπ/4 وحدπ/2. هذا تحويل للتكامل، وليس تفسيرًا للمعامل الأصلي بوصفه زاوية حركة.

نتيجة التبسيط هي k(v)=−cos2v+sin²2v، ثم B=16∫[π/4,π/2]k(v)dv. دالة أصلية لـk هي J(v)=−sin2v/2+v/2−sin4v/8؛ اشتقاقها يعطي−cos2v+(1−cos4v)/2.

عند الحد الأعلى J(π/2)=π/4، وعند الأدنى J(π/4)=−1/2+π/8. لذلك B=16[J(π/2)−J(π/4)]=8+2π، نحو14.283185 وحدة مربعة. كل نصف مساحته4+π.

التكامل غير الصحيح هنا له قيمة محدودة، رغم امتداد المنطقة رأسيًا بلا حد. العرض4/(1+t²) يضيق، لكننا أثبتنا المساحة من التكامل الكامل؛ مجرد رؤية فجوة صغيرة في الرسم لا يكفي.

قارن حدود المنطقتين قبل نقل نتيجة

النتيجتان موجبتان ومختلفتان: L=8−2π وB=8+2π. مجموعهما L+B=16، والفرق B−L=4π. لا تتساويان، ولا نعامل2π حدًا يمكن حذفه بسبب تناظر الرسم.

التناظر حول المحور الأفقي يساوي بين نصفي الحلقة، وبين نصفي المنطقة الخارجية. لكنه لا يبدل منطقة x≤0 بالمنطقة الواقعة عند x≥0 إلى المقارب؛ لا يثبت مساواة هاتين المنطقتين.

يتتبع تكامل الحلقة حدًا مغلقًا، بينما تكامل الخارج يجمع شرائط أفقية إلى خط لا يصل إليه المنحنى. استخدام الصيغة نفسها دون تحديد الحدود قد يحسب مساحة موقعة أو منطقة أخرى بدل المطلوبة.

التظليل الأزرق الفاتح في الرئيسية يعرض قطعًا من الخارج حتى |t|=2.4 فقط؛ ما فوقه وتحته مستمر خارج المشهد. وفي الداخلية نعرض النصف العلوي حتى t=3 فقط. لا يمثل أي تظليل مقطوع المساحة B كلها.

في الصورة الداخلية الفجوة PD=4/5 تخص y=12/5. عند ارتفاعات أعلى تقترب الحدود، لكن النقطة D نفسها تبقى على المقارب خارج المنحنى. نتجنب وصل نهاية الجزء الأزرق بالخط الأحمر بوصفه استمرارًا للمسار.

الأعداد تخص المعادلة ذات المقياس2، وبوحدة مربعة معلنة. الصور بمقياس متساوٍ للمحورين؛ لا نستخرج مساحة من طول قوس، ولا نزعم قياسًا ماديًا أو زمن وصول إلى المقارب.