العلاقة بين الدالة الأسية واللوغارتمية: العكس والمجال

الخلاصة السريعة

العلاقة بين الدالة الأسية واللوغارتمية عكسية: y = bˣ تعادل x = log_b(y)، مع b > 0 و b ≠ 1. الأسية تعطي العدد، واللوغاريتم يعيد الأس. ^[1]

• الصورتان bˣ = y و log_b(y) = x متكافئتان؛ يلزم b > 0 و b ≠ 1 و y > 0 في الأعداد الحقيقية. ^[1]
• مجال bˣ حقيقي ومداه موجب؛ مجال log_b(x) موجب ومداه حقيقي. ^[2]
• في المثال f(x) = 4ˣ، النقطة (1.5,8) تقابل (8,1.5) على g(x) = log₄(x).
• المنحنيان انعكاسان حول y = x؛ تساوي المقياس على المحورين مهم لقراءة الرسم. ^[2]
• مع الأساس ¼ تبقى العلاقة عكسية: f(1.5) = ⅛ و g(⅛) = 1.5. لا يدخل الصفر أو السالب في لوغاريتم حقيقي بهذه الصورة. ^[1]

شروط العكس قبل التعويض

اللوغاريتم يسأل عن الأس الذي ينتج عددًا موجبًا من أساس موجب غير 1. ^[1] لا تغير الأساس بين الصورتين.

في الصورة الأساسية مجال الأسية جميع الأعداد الحقيقية، ومداها موجب. يتبادل اللوغاريتم هذا المجال والمدى. ^[2]

نختار f(x) = 4ˣ و g(x) = log₄(x). من 4⁰ = 1 نحصل على g(1) = 0؛ ومن 4⁻¹ = ¼ نحصل على g(¼) = −1. المدخل الموجب لا يفرض مخرجًا موجبًا للوغاريتم.

مثال أصلي وتبادل إحداثيي النقطة

لـ f نختار المدخلات −1,0,½,1,1.5. المخرجات ¼,1,2,4,8؛ لأن 4^(1.5) = (√4)³ = 8. لـ g نبدل كل زوج، لا ترتيب الجدول كله.

لذلك (½,2) على الأسية تصبح (2,½) على اللوغاريتمية؛ و(1.5,8) تصبح (8,1.5). هذه نقاط مشتقة من الأساس المختار، وليست مثال المرجع نفسه.

في الرسم يتناظر منحنيَا الدالتين حول y = x. ^[2] رسمنا القيم بمقياس واحد؛ ننظر إلى تبادل الإحداثيين لا إلى تشابه لون الخطين.

نراجع التركيب: g(f(1.5)) = g(8) = 1.5، و f(g(8)) = f(1.5) = 8. تعيد كل عملية مدخل العملية الأخرى في المثال المسموح.

أساس كسري ومدخل غير مسموح

نختار f(x) = (¼)ˣ و g(x) = log_¼(x). عند x = −1,0,1.5 نحصل على 4,1,⅛. ثم g(4) = −1 و g(1) = 0 و g(⅛) = 1.5.

اللوغاريتم ذو أساس بين 0 و 1 متناقص، وذو أساس أكبر من 1 متزايد. ^[2] المثال الكسري يبين أن العكس لا يتطلب تصاعد الرسمين.

لا نكتب log₄(0) أو log₄(−2) عددًا حقيقيًا؛ القوة ذات الأساس الموجب لا تعطي هذين المدخلين. ln هو اللوغاريتم ذو الأساس e. ^[1]

إذا تغيرت الصيغة، اقرأ ما داخل اللوغاريتم: في مثال مستقل log₄(x−6)، الشرط x−6 > 0 يعطي x > 6. لا تنقل مجال الصورة غير المزاحة إلى كل تعبير.

للمتابعة في موضوع قريب، اقرأ: أنواع الدالة الأسية: النمو والاضمحلال والفرق عن النمو الخطي.