الفرق بين التسارع المماسي والمركزي: المقدار والاتجاه والمحصلة

الخلاصة السريعة

التسارع المماسي يصف تغير مقدار السرعة، أما المركزي فيتجه نحو مركز المسار الدائري. وعندما تتغير السرعة على دائرة، يجتمع المركبان المتعامدان. ^[1]

• مركبة التسارع المماسي، مع اتخاذ اتجاه الحركة موجبًا، هي dv/dt؛ تكون سالبة عند انخفاض مقدار السرعة. ^[1]
• المركزي مقداره v²/r، حتى عندما تكون السرعة ثابتة المقدار. ^[1]
• مقدار المحصلة √(a_c² + a_t²)، وليس مجموع المقدارين؛ لأن المركبين متعامدان. ^[1]
• عند r = 4 m و v = 6 m/s ومركبة مماسية ±2 m/s²، مقدار المحصلة √85 ≈ 9.22 m/s² في الحالتين.

تغيران مختلفان في السرعة

السرعة متجه: لها مقدار واتجاه. في دائرة ثابتة نصف القطر، يمكن أن يتغير الاتجاه مع بقاء المقدار ثابتًا؛ هنا يكون التسارع المماسي صفرًا والمركزي موجودًا. ^[1]

أما زيادة المقدار أو نقصانه فتحتاج وصفًا مماسيًا أيضًا. لذلك لا يكفي أن تقول إن الحركة «دائرية» ثم ترسم كل التسارع نحو المركز؛ هذا الرسم يحتاج شرط ثبات مقدار السرعة.

اختيار الإشارة يسبق التعويض. نستعمل هنا مماسًا موجبًا في اتجاه الحركة الفعلي، ونكتب المقدار v غير سالب. عند زيادة هذا المقدار تكون مشتقته موجبة، وعند انخفاضه تكون سالبة.

السالب في هذه الاتفاقية يعني أن المركبة المماسية تعاكس اتجاه الحركة. لا يعني أن مقدار التسارع الكلي عدد سالب، ولا يلغي المركبة المركزية. حافظ على التمييز بين مركبة بإشارة ومقدار متجه.

نفس السرعة: تسارع وتباطؤ بمحصلة مختلفة الاتجاه

في مثالين افتراضيين عند اللحظة المدروسة، نصف القطر 4 أمتار والسرعة 6 أمتار لكل ثانية. نحسب المركبة المركزية: 6² ÷ 4 = 9 أمتار لكل ثانية مربعة.

في الحالة الأولى يزداد المقدار بمعدل 2، وفي الثانية ينقص بمعدل 2، بوحدة m/s². نجمع المتجهين في كل حالة، فنحصل على √(9² + 2²) = √85 ≈ 9.22 m/s².

المقدار متساوٍ لأن تربيع +2 أو −2 يعطي 4. لكن اتجاه المحصلة يميل مع الحركة في الحالة الأولى، وعكسها في الثانية. الزاوية مع الاتجاه نحو المركز مقدارها arctan(2/9) ≈ 12.53° في هذا المثال.

لو جمعنا 9 و 2 حسابيًا للحصول على 11، لتعاملنا مع متجهين متعامدين كأنهما متوازيان. رسم المثلث القائم يوضح لماذا لا يصح هذا الجمع. الرسم لا يزعم أن أرقام المثال قياسات لجسم حقيقي.

كيف تتبدل المركبات مع الزمن؟

لنفترض، على دائرة نصف قطرها 4 أمتار، سرعة v(t) = 3 + 2t بوحدة m/s خلال 0 ≤ t ≤ 3 ثوان. المركبة المماسية ثابتة وتساوي 2 m/s²، بينما المركزي يتغير لأن مربع السرعة يتغير.

عند الأزمنة 0 و 1 و 2 و 3 ثوان، تكون السرعات 3 و 5 و 7 و 9. وبالتعويض في v²/r نحصل على 2.25 و 6.25 و 12.25 و 20.25 m/s²، على الترتيب.

إذن ثبات معدل زيادة السرعة لا يعني ثبات التسارع الكلي. الخط الأفقي في الرسم يمثل المركبة المماسية، والمنحنى يمثل المركزي. قارن القيم عند الزمن نفسه، ولا تقارن قيمة من أول المنحنى بقيمة من نهايته.

هذه معادلات للمركبات الحركية. تحديد القوة الفعلية التي تحقق الحركة يحتاج وصف الجسم والتفاعلات المؤثرة فيه؛ كلمة «مركزي» وحدها لا تثبت أن السبب هو الجاذبية.

للقراءة المتصلة بهذا الموضوع: قانون التسارع المركزي: حسابه من السرعة أو الزمن الدوري.